线性代数知识点总结

1线性代数知识点总结第一章行列式1.n阶行列式121212111212122212121nnnntpppnppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa2.特殊行列式1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaa1212nn，1122121nnnn3.行列式的性质定义记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa，行列式TD称为行列式D的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行ijrr或列ijcc，行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。性质3行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()jkrk，等于用数k乘此行列式；推论1D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;推论2D中某一行（列）所有元素为零，则=0D。性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa21112111112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算 ijrkr把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。4.行列式按行（列）展开余子式在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶行列式叫做元素ija的余子式，记作ijM。代数余子式1ijijijAM记，叫做元素ija的代数余子式。引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）(,)ij元外ija都为零，那么这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijDaA。（高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0，保留一个非零元素，降阶）定理n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122iiiiininDaAaAaA，(1,2,,)in1122jjjjnjnjDaAaAaA或，(1,2,,)jn。第二章矩阵1.矩阵111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa行列式是数值，矩阵是数表，各个元素组成方阵：行数与列数都等于n的矩阵A。记作：An。行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB同型,且对应元素相等。记作：A＝B零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）3对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。2.矩阵的运算矩阵的加法111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。矩阵加法的运算规律1ABBA；2ABCABC1112121222113,()nnijijmnmnmmmnaaaaaaAaAaaaa设矩阵记，A称为矩阵A的负矩阵40,AAABAB。数与矩阵相乘111212122211,nnmmmnaaaaaaAAAAAaaa数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律（设AB、为mn矩阵，,为数）1AA；2AAA；3ABAB。矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设(b)ijB是一个ms矩阵，(b)ijB是一个sn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵(c)ijC，其中12121122jjiiisijijissjsjbbaaaabababb1sikkjkab，1,2,;1,2,,imjn，4并把此乘积记作CAB注意1。A与B能相乘的条件是：A的列数＝B的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3。对于n阶方阵A和B，若AB=BA，则称A与B是可交换的。矩阵乘法的运算规律1ABCABC；2ABABAB3ABCABAC，BCABACA4mnnnmmmnmnAEEAA5若A是n阶方阵，则称Ak为A的k次幂，即kkAAAA个，并且mkmkAAA，kmmkAA,mk为正整数。规定：A0＝E（只有方阵才有幂运算）注意矩阵不满足交换律，即ABBA，kkkABAB（但也有例外）转置矩阵把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作A，1TTAA；2TTTABAB；3TTAA；4TTTABBA。方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作A注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。1TAA；2nAA；(3)ABABBABA对称阵设A为n阶方阵，如果满足A=AT，那么A称为对称阵。伴随矩阵行列式A的各个元素的代数余子式ijA所构成的如下矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵。性质AAAAAE（易忘知识点）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。逆矩阵：AB＝BA＝E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。1AB即。5说明1A，B互为逆阵，A=B-12只对方阵定义逆阵。（只有方阵才有逆矩阵）3.若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。定理1矩阵A可逆的充分必要条件是0A，并且当A可逆时，有1*1AAA（重要）奇异矩阵与非奇异矩阵当0A时，A称为奇异矩阵，当0A时，A称为非奇异矩阵。即0AAA可逆为非奇异矩阵。求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||AAAAAA先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。初等变换的应用：求逆矩阵：1(|)|AEEA初等行变换。逆矩阵的运算性质1111,,AAAA若可逆则亦可逆且1112,0,,AAAA若可逆数则可逆且。1113,,,ABABABBA若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。114,,TTTAAAA若可逆则亦可逆且。115,AAA若可逆则有。3.矩阵的初等变换初等行（列）变换1()ijrr对调两行，记作。20()ikrk以数乘以某一行的所有元素，记作。63()ijkrkr把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r”换成“c”。矩阵等价ABAB如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。（非零行数及矩阵的秩）.00000340005213023012的秩求矩阵BR(B)=3行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如rmnEOFOO的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的应用求逆矩阵：1(|)|AEEA初等行变换或1AEEA初等列变换。4.矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵mnA，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）说明1.矩阵Am×n，则R(A)≤min{m,n};2.R(A)=R(AT);3.R(A)≥r的充分必要条件是至少有一个r阶子式不为零;4.R(A)≤r的充分必要条件是所有r+1阶子式都为零.满秩和满秩矩阵矩阵ijmnAa，若()RAm，称A为行满秩矩阵；若()RAn，称A为列满秩矩阵；,(),AnRAnA若为阶方阵且则称为满秩矩阵。()nARAn若阶方阵满秩，即0A；1A必存在；A为非奇异阵；,~.nnAEAE必能化为单位阵即7矩阵秩的求法定理1矩阵A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A～B，则R(A)=R(B)。推论()()PQRPAQRA若、可逆，则矩阵秩的性质总结(1)0()min{,}mnRAmn(2)()()TRARA(3)~,ABRARB若则()()PQRPAQRA(4)若、可逆，则(5)max{(),()}(,)()()()(,)()1.RARBRABRARBBbRARARAb特别当为非零列向量时，有(6)()()()RABRARB(7)()min{(),()}.RABRARB(8),()().mnnlABORARBn若则(9)AB=OAB=O设，若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。第三章1.n维向量n个数a1,a2,…,an组成的一个有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n维向量,记为1212()(,,,)...Tnnaaaaaa列向量形式或（行向量形式），其中第i个数ai称为向量的第i个分量。向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。设矩阵A=(aij)m×n有n个m维列向量，即11121121222212jnjnmmmjmnAaaaaaaaaaaaa，12na,a,,aA向量组称为矩阵的列向量组。同理，也可说矩阵A有m个行向量组组成。向量，向量组，矩阵与方程组的关系向量组矩阵：12(,,,)mA8向量方程方程组：11112122122212nn1n2n...mmmmaaabaaabxxxaaab，可简写作1122nnxxx向量方程方程组矩阵形式112212(,,,)mnnxbxbAxbxb线性组合给定向量组12:,,,mA和向量b，如果存在一组数12,m，，使1122mmb，则向量b是向量组A的线性组合，这时称b向量能由向量组A线性表示。定理1向量b能由向量组12:,,,mA线性表示的充分必要条件是矩阵12(,,,)mAaaa的秩等于矩阵12(,,,,b)mBaaa的秩