线性代数第一章1行列式的定义

第二章矩阵第一章行列式第三章向量线性代数第四章线性方程组第六章二次型第五章矩阵的特征值与特征向量§2行列式的性质与计算§1行列式的定义§3行列式展开定理、克拉默法则第一章行列式§1行列式的定义第一章行列式一、二阶、三阶行列式二、排列及其逆序数三、n阶行列式的定义§1行列式的定义一、二阶、三阶行列式.,22221211212111bxaxabxaxa:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa，得两式相减消去2x(1)(2);212221121122211baabxaaaa）（§1行列式的定义122122211211121122122111221221,.baabbaabxxaaaaaaaa，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa原方程组有唯一解由方程组的四个系数确定§1行列式的定义若记1121221222221,abaabDabb1111212122112,aabbaDbba1112112212212122,aaaaaaDaa则当时该方程组的解为0D1212,.DDxxDD§1行列式的定义在三元一次线性方程组求解时有类似结果即有方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb当时，有唯一解1112132122233132330aaaDaaaaaa312123,,DDDxxxDDD§1行列式的定义其中1121312222333233,baaDbaabaa1111322122331333,abaDabaaba1112132122231323.aabDaabaab§1行列式的定义二阶、三阶行列式的定义1.二阶行列式11122122aaaa2.三阶行列式11221221aaaa111213212223112233122331132132313233aaaaaaaaaaaaaaaaaa132231122133112332aaaaaaaaa§1行列式的定义112332aaa312213aaa332112aaa132132aaa112233aaa122331aaa333231232221131211aaaaaaaaa对角线法则§1行列式的定义例1.计算行列式2143123213321212例2.解方程2111230.49xx§1行列式的定义自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组11112211211222221122,,().nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb它的解是否也有类似的结论呢？§1行列式的定义为此，我们需要解决如下问题：2）n阶行列式的性质与计算？1）怎样定义n阶行列式？3）方程组(＊)在什么情况下有解？有解的情况下，如何表示此解？§1行列式的定义二、排列及其性质定义1称为一个元排列．n由1，2，…，n组成的一个有序数组123，132，213，231，312，321．如，所有的3元排列是——共6=3！个.n!12(1)nnnnP(阶乘)注：所有不同元排列的总数是n§1行列式的定义1、逆序逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.定义2一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．在一个排列中，如果一对数的前后位置与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；§1行列式的定义①排列123称为标准排列，其逆序数为０．n注：②排列的逆序数常记为12().niii12niii③后面比小的数的个数121()niiii1i1ni后面比小的数的个数.1ni2i后面比小的数的个数2i或前面比大的数的个数122()niiii2i3i前面比大的数的个数3ini前面比大的数的个数．ni方法一方法二§1行列式的定义例3．排列31542中，逆序有(31542)531，32，54，52，42的逆序数.例4．求元排列n135(21)(2)(22)42nnn解：135(21)(2)(22)42nnn121n1n方法一12(1)(1)21(1)nnnn1§1行列式的定义逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．2、奇排列、偶排列定义3标准排列123为偶排列．n注：思考题：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性．(1)321nn（1）(2)1(21)2(22)3(1)nnnnn（2）§1行列式的定义3、对换定义5把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．性质1连续施行两次相同的对换,排列还原.性质2一个对换把全部n元排列两两配对,使每对排列在此对换下互变.§1行列式的定义证明1)特殊情形：作相邻对换mlbbabaa11对换与abmlbbbaaa11除外，其它元素所成逆序不改变.b,aab对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．定理1设排列为§1行列式的定义当时，baab所成逆序不变;经对换后的逆序增加1个,经对换后所成逆序不变，的逆序减少1个.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为nmlcbcbabaa111当时，ba现来对换与a.b2)一般情形§1行列式的定义次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换1mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换12m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab§1行列式的定义所有元排列中，奇、偶排列各半，n!2n均为个.设在全部元排列中，有个奇排列，个偶排列，下证．nstts将个奇排列的前两个数对换，则这个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，ss同理，将个偶排列的前两个数对换，则这个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，tt推论证明.st.ts故!.2nst两两配对排列一为奇排列,另一为偶排列.§1行列式的定义一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个任意一个排列与标准排列都可经过123n排列的奇偶性相同．定理2由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,因此知结论成立.证明而标准排列是偶排列（逆序数为0）,§1行列式的定义（1）三阶行列式等于所有取自不同行不同列的三个（2）这个代数和的总项数是1，2，3构成的排列总数；元素乘积的代数和；三、n阶行列式的定义（3）每一项的符号与元素的列指标排列的奇偶性有关；123123123111213()212223123313233(1)jjjjjjjjjaaaaaaaaaaaa这里表示对所有1，2，3的3元排列求和．123jjj§1行列式的定义等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积(1)每一项（1）都按下列规则带有符号：111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1212njjnjaaa当为奇排列时（1）带负号；12njjj当为偶排列时（1）带正号；12njjjn阶行列式的代数和，这里为的排列.12njjj1,2,,nn阶行列式的定义§1行列式的定义即1121211121()212221212(1)nnnnjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa这里表示对所有1、2、…、n的n元排列求和．12njjj§1行列式的定义2)中的数称为行列式D处于111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaija注:第i行第j列的元素，i称为行指标，j称为列指标.3)n阶行列式定义展开式中共有n！项．1)行列式常简记为或111212122212nnnnnnaaaaaaaaadet()ija.ija主对角线副对角线§1行列式的定义123456例5.10000200003000046!(1234)11223344(1)aaaa(654321)162534435261(1)aaaaaa24720§1行列式的定义一般地,1(1)22,112,11(1)nnnnnnnnnaaaaaa11221122nnnnaaaaaa对角形行列式§1行列式的定义类似可得：111212221122000nnnnnnaaaaaaaaa112122112212000nnnnnnaaaaaaaaa上三角形行列式下三角形行列式§1行列式的定义例6.已知,求的系数.112111()3211121xxfxxx3x由n阶行列式定义，是一个的多项式函数，()fx且最高次幂为,显然含的项有两项:3x3x与(1234)11223344(1)aaaa(1243)11223443(1)aaaa即与3x32x中的系数为-1.()fx3x解:§1行列式的定义12121211121()212221212(1)nnnniiiniiiniiinnnnaaaaaaDaaaaaa这里表示对所有1、2、…、n的n元排列和．12niiin阶行列式的等价定义§1行列式的定义证明：按行列式定义有记对于D中任意一项11212()12(1)nnnjjjjnjjjjDaaa1121()1121nnniiiiiniiDaaa112()12(1)nnjjjjnjaaa总有且仅有中的某一项1D与之对应并相等;112()121nniiiiinaaa§1行列式的定义反之，对于中任意一项1D也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等．于是D与1D中的项可以一一对应并相等,从而.1DD112()12(1)nnjjjjnjaaa112()121nniiiiinaaa§1行列式的定义12121122()()(1)nnnniiijjjijijijaaa111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa类似地，有