线性代数第一章3行列式的展开定理

§2行列式的性质与计算§1行列式的定义§3行列式展开定理、克拉默法则第一章行列式§3行列式展开定理、克拉默法则一、余子式、代数余子式二、行列式按一行（列）展开法则三、克拉默法则§3行列式的展开定理引例,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa2223113233aaaaa可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示．2123123133aaaaa2122133132aaaaa§3行列式的展开定理一、余子式、代数余子式定义在n阶行列式中将元素所在的ijadet()ija第i行与第j列划去，剩下个元素按原位置2(1)n次序构成一个阶的行列式，1n111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnnjnjnnaaaaaaaaaaaaaaaa称之为元素的余子式,记作．ijMija§3行列式的展开定理(1)ijijijAM令称之为元素的代数余子式．ijaijA注：①行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式．无关，只与该元素所在行列式中的位置有关．②元素的余子式和代数余子式与的大小ijaija§3行列式的展开定理元素除外都为0，则ija.ijijDaA1.引理二、行列式按行(列)展开法则若n阶行列式D=中的第i行所有det()ija§3行列式的展开定理证：先证的情形，即11ijaa11212221200nnnnnaaaaDaaa由行列式的定义，有121212()12(1)nnnjjjjjnjjjjDaaa222()112(1)nnnjjjnjjjaaa§3行列式的展开定理222112nnnnaaaaa1111.aA1111aM结论成立.一般情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnnjnjnjnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa§3行列式的展开定理111,111,1111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000(1)ijjjjniiijijijiniijijijinnnjnjnjnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111,11,11111,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,10000(1)(1)ijjjjnijijiijijinijiijijinnjnnjnjnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa§3行列式的展开定理2(1)ijijijaM(1)ijijijaM(1).ijijijijijaMaA结论成立.111,11,1121,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1(1)jjnijiijijinijiijijinnnjnjnnaaaaaaaaaaaaaaaaa§3行列式的展开定理2.定理行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122jjjjnjnjDaAaAaA1122iiiiininDaAaAaA1nikikkaA1,2,,in1nkjkjkaA1,2,,jn或行列式按行（列）展开法则§3行列式的展开定理证：111211212000000niiinnnnnaaaaaaDaaa1122iiiiininaAaAaA11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaani,,2,1§3行列式的展开定理例1.计算行列式3112513420111533D解：11130153D51100051151111115505116205501362(1)5540§3行列式的展开定理例2.计算n阶行列式000000.000000nababDabba解：1(1)(1)0000000000(1).0000000000nnnnabbaabDababbaab1111(1)(1).nnnnnnaabbab§3行列式的展开定理例3.证明范德蒙行列式1232222123111111231111()nnnijjinnnnnnxxxxxxxxDxxxxxx§3行列式的展开定理证：用数学归纳法.时，211211.xxxx2n01假设对于阶范德蒙行列式结论成立．即1n02结论成立．23222231222223111()nnnijjinnnnnxxxxxxDxxxxx§3行列式的展开定理把从第n行开始，后面一行减去前面一行的nD倍，得1x21311222212313112121221231311111000nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx下证对于n阶范德蒙行列式结论也成立.nD§3行列式的展开定理2131122133112222213311()()()()()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx23222232131122223111()()()nnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxx§3行列式的展开定理1()ijjinxx范德蒙行列式中至少两个相等．120,,nnDxxx注：213111()()()nnxxxxxxD213112()()()()nijjinxxxxxxxx范德蒙行列式另一形式：211112121221333211111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx§3行列式的展开定理3.推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,ijijninjaAaAaAij11220,ijijinjnaAaAaAij§3行列式的展开定理证行展开，有按第把行列式jaDij)det(11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaaAaAaaaa可得换成把),,,1(nkaaikjk§3行列式的展开定理11111111,niinijinjniinnnnaaaaaAaAaaaa行第j行第i相同11220,ijijninjaAaAaAij11220.ijijinjnaAaAaA∴当时,ij同理可证,§3行列式的展开定理10nikjkkDijaAij10nkikjkDijaAij综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：§3行列式的展开定理例4.计算2n阶行列式22nnababDbaba其中未标明的元素都是0.§3行列式的展开定理自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组11112211211222221122,,(1).nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb它的解也有类似二元、三元一次线性方程组的结论.三、克拉默法则（Cramer,瑞士，1704~1752）§3行列式的展开定理定理如果线性方程组（1）的系数行列式1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa则方程组(１)有唯一解1212,,,nnDDDxxxDDD（2）Cramer法则§3行列式的展开定理||0DA其中是把行列式中第列(1,2,,)jDjnDj所得的一个n级行列式，即的元素用方程组（1）的常数项代换12,,,nbbb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDaabaa1122jjnnjbAbAbA1.nssjsbA§3行列式的展开定理注解1：克拉默(Cramer)法则中包含着两个前提和三个结论：前提：（1）线性方程组（1）中方程的个数等于未知量的个数；（2）线性方程组（1）的系数矩阵的行列式不等于零.结论：（1）线性方程组（1）有解；（2）线性方程组（1）的解是唯一的；（3）线性方程组（1）的解由公式（2）给出.§3行列式的展开定理例5用克拉默法则解方程组.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：6741212060311512D212rr24rr127702120603113570方程组的系数行列式§3行列式的展开定理12772121357212cc232cc2770103532733,2767402125603915181D,8167012150609115822D,108§3行列式的展开定理60412520693118123D,2707415120903185124D,27,3278111DDx,42710822DDx,1272733DDx.1272744DDx§3行列式的展开定理程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程组时,很少用克拉默法则.另外,当方程组中方默法则求解.注解2：§3行列式的展开定理但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.注解3：