线性代数第二章2-3向量组的线性相关性

四、向量组的秩一线性组合三向量组的线性相关性五向量空间的维数向量组的关系矩阵方程组二、、课前复习１、定义ｎ个数组成的有序数组12,,,naaa12naaa称为一个ｎ维向量，其中称为第个分量（坐标）.iai.,记作ｎ维向量写成一行称为行向量，记作.,ｎ维向量写成一列称为列向量，２、几种特殊向量实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．4、向量组,;ifVVV5、向量空间设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称集合Ｖ为向量空间.,.ifVRV3、向量的运算向量的加法与数乘。一、向量的线性相关性1、基本概念定义2.3.1设向量组，和向量mA,,,:21mm2211使如果存在一组数，，，m,21则向量是向量组A：的一个线性组合，12,,,,m或称向量可由向量组A线性表示．①若α＝kβ，则称向量α与β成比例．②零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．③向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．12000.mO1100，2010，，001n，例1：任一ｎ维向量12naaa都是的一个线性组合．1122.nnaaa显然有n维单位坐标向量组注：例2:证明向量240，，＝是向量13232121，，，＝，，，＝，，，＝2133的线性组合,并将321,,用线性表示解:先假设，＋＋＝332211即213132321240321，，＋，，＋，，＝，，223432032321321321＝＋＋＝＋＋＝＋＋因此由于018213132321＝－所以方程组有唯一解,可得，＝－，＝，＝111321于是321－＋＝小结::,,,21之一的关系为以下三种情形与m；，、m且表达式唯一线性表示可由,,,121，，、m但不唯一线性表示可由,,,2211,11,1)0,0(如1,101,10。、m线性表示不能由,,,321若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.例如:矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:aaaaaaaaaaaamnmjmmnjnjA21222221111211a1a2ajan向量组a1,a2,···,an称为矩阵A的列向量组.向量组的关系矩阵元线性方程组二、、、naaaaaaaaaaaamnmminiinnA212122221112111向量组1’,2’,···,m’称为矩阵A的行向量组.类似地,矩阵A=(aij)mn有m个n维行向量:2im线性方程组的向量表示mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111122nnaxaxaxa1a2na因此线性方程组可写为方程组有没有解的问题转化为向量能否由12,,,naaa向量组线性表示.于是0,,,,,,,:22112121mmmmkkkkkkA使全为零的数如果存在不给定向量组注意.0,0,,,,1.2211121成立才有时则只有当线性无关若nnnn.,2.线性相关性无关就是不是线对于任一向量组定义2.3.2则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．A三、向量组的线性相关性.,0,0,3.线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量.4.组是线性相关的包含零向量的任何向量任取若干个从向量组部分组m,,,:21.向量组成的新的向量组5:向量组的一个部分组线性相关，那么向量组是线性相关的.例3:已知向量组a1,a2,…,ar线性无关,试证向量组线性无关.1121212,,,rr证：设11220,rrkkk则11212120,rrkkk或写成121220,rrrrkkkkkk由于线性无关，12,,,,r故上式当且仅当122000rrrkkkkkk显然，线性无关.12,,,r所以120rkkk000322131xxxxxx证:设有x1,x2,x3,使x1b1+x2b2+x3b3=O即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=O,亦即(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=O,因向量组a1,a2,a3线性无关,,02110011101由于系数行列式故方程组只有零解,即只有因此由定义得,向量组b1,b2,b3线性无关.所以1230xxx例4:已知向量组a1,a2,a3线性无关,试证向量组b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1线性无关.例5：设miaaaariririii,,2,1,,,,1121＋，维向量组＋miaaaririii,,2,1,,,,21维向量组:,,,,21试证线性无关维向量组若maar.,,,121线性无关维向量组＋mr证：用反证法。若则存在线性相关向量组,,,,21m使得的数不全为,,,,021mkkk成立02211mmkkk即000121211122111221111mmrrrmmrrrmmkakakakakakakakaka(1)而方程组（2）对应于等式.02211mmkkk由上式推出向量组不全为零由于,,,,21mkkk，，，，maa21线性相关.此与已知矛盾.所以,向量组.,,,21线性无关m0022111221111mmrrrmmkakakakakaka01212111mmrrrkakaka显然方程组（1）与方程组（2）同解。(1)(2)定理向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m,,,212mm,,,211m证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.maaa,,,21ma即有112211mmma四、线性相关性的判定故01112211mmma因这个数不全为0，1,,,,121mm故线性相关.m,,,21必要性设线性相关，m,,,21则有不全为0的数使,,,,21mkkk.02211mmkkk因中至少有一个不为0，mkkk,,,21不妨设则有,01k.13132121mmkkkkkk即能由其余向量线性表示.1证毕.Ａ唯一线性表示.定理2.3.2如果向量组线性无关，raaaA,,,:2112:,,,,rB而向量组线性相关则α可由证11220rrkkkk设∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关，∴ｋ≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）1122rrkkkk1212rrkkkkkk∴α可由Ａ线性表示.即有下证唯一性：1122;rr1122rr两式相减有1112220rrr设11220,0,0rr1122,,rr即表达式唯一.∵Ａ线性无关，例6判断下列命题是否正确：(1)若向量线性相关，则必定可由12,,,m12,,m线性表示；(2)若向量线性无关，12,,,m且不能由1m12,,,m线性表示，则线性无关121,,,,mm(3)若向量线性相关，12,,,m线性相关，12,,,m则若向量线性相关。1122,,,mm120,0,0,1,121,0,0,0,11221,0,0,1例7（定理）设n维向量组.,,2,1,,,,21miaaaainiii证明：naaanm,,,,)1(21向量组时线性无关的充分必要条件是行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaamaaanm,,,,)2(21向量组时必线性相关即：向量的个数大于维数，向量组必线性相关。仅当k1=k2=···=km=0时成立，或齐次线性方程组k11+k22+···+knn=O证明（1）必要性.若向量组1,2,···,n线性无关.则等式111212112122221122000nnnnnnnnnakakakakakakakakak由定理1.4.2知,方程组的系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa0212221212111nnnnnnaaaaaaaaaD故只有零解。充分性由克拉默法则可知,以上过程反之亦然.naaannm,,,,)2(21个若向量组的前时必线性相关,则原向量组线性相关.,,,,21线性无关个若向量组的前naaan由(1)知,行列式而D是与0212221212111nnnnnnaaaaaaaaaD12211nnnaaxaxax对应的线性方程组的系数行列式，由克拉默法则可知方程组有唯一解。所以它们线性相关线性表示可由从而,,,,211nnaaaa例8判断下列向量组的线性相关性：123(1)1,2,4,0,1,2,2,3,aaac－解：（1）由01032210421cc－－则c=-10.21(2)1,,,,,1,2,,,niiiiim其中是互不相同的数，且12,,,m.mn由例7（1）可知当c=-10时线性相关；否则线性无关。（2）去掉每个向量的后n-m个分量得到m维向量组211,,,,,1,2,,.miiiim由于互不相同，12,,,m范德蒙德行列式1222212111112111()0.mmijmijmmmnaaaaaaaaaaa所以向量组211,,,,,1,2,,.miiiim线性无关；由例5可知：211,,,,,1,2,,,niiiiim线性无关。小结：判断线性相关性的定理至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示向量组线性相关)2(,,,21mm定理：推论：向量组线性无关)2(,,,21mm任一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示(1)(2)n维向量组线性相关m,,,21定理:.0有非零解AxmA,,,21其中推论：n维向量组线性无关m,,,21.0只有零解Ax12,,,mA其中(3)则向量组121:,,,,mmB也线性相关。则，向量组12:,,,mA也线性无关。12:,,,mA若向量组线性相关，定理：若向量组121:,,,,mmB线性无关，定理：部分相关则整体相关整体无关则部分无关(4)定理：n维向量组线性无关，12,,,m把每个向量的维数增加后，得到的新向量