线性代数第二章矩阵.

2.1节矩阵定义：有mn个数排成如下的m行、n列的矩形阵列：称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。－－－矩阵的第行，第列的元素111212122212nnmmmnaaaaaaaaa矩阵常用大写字母来表示。上面的矩阵可简记为：()ijmnAaijaij2.1节矩阵当矩阵A的行数和列数相等（m＝n）时，称矩阵为n阶方阵。对于方阵A，可以按元素的原来位置定义行列式，称为方阵A的行列式，记之为：|A|例如：1234A12||234A！！！注意区分矩阵和行列式2.1节矩阵矩阵应用举例：1.考试成绩2.计算机图像3.线性变换4.线性方程组（见下页）………2.1节矩阵矩阵举例：系数矩阵：常数项矩阵：增广矩阵：11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaaaa11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab12mbbb2.1节矩阵几种特殊的矩阵:•若矩阵的所有元素都为零，称矩阵为零矩阵，记之为•若n阶方阵除了主对角线上的元素外其余元素都为零，则称之为n阶对角阵，记之为：•若n阶对角阵的对角线上的元素都等于1，则称之为n阶单位阵，记之为：•若n阶方阵主对角线下方的元素都为零，则称之为n阶上三角阵；若n阶方阵主对角线上方的元素都为零，则称之为n阶下三角阵mnO1122{,,,}nndiagaaanE2.1节矩阵几种特殊的矩阵:•若矩阵的行数为1，称矩阵为行矩阵（行向量）•若矩阵的列数为1，称矩阵为列矩阵（列向量）•若矩阵的行数、列数均为1，称矩阵只有一个元素，这时将矩阵看成是数，即11Aa2.2节矩阵的运算一矩阵的加法与减法设，，则如下定义加法运算：例如：设，称为Ａ的负矩阵。()ijmnAa()ijmnBb()ijijmnABab123021456201144657注意：两个矩阵必须行数和列数都相等，才能作加法运算()ijmnAa()ijmnAa2.2节矩阵的运算设，，则如下定义减法运算：例如：()ijmnAa()ijmnBb()ijijmnABab123021456201102255注意：两个矩阵必须行数和列数都相等，才能作减法运算矩阵加法满足如下的运算律：P332.2节矩阵的运算二矩阵的数乘设，则如下定义数乘运算：例如：矩阵数乘运算满足如下运算律:P33()ijmnAa(),ijmnkAkakR＝12334563691215182.2节矩阵的运算例1：1(2)3XBA解：120435826534设2A+X=B-2X，其中A=B=，求矩阵X.2.2节矩阵的运算三矩阵的乘法设，，则如下定义乘法运算：例2：()ijmkAa()ijknBb1()killjmnlABab1332213104035AB2(4)(3(23310053)10)1AB矩阵相乘的前提：左边矩阵的列数必须和右边矩阵的行数都相等但是，BA没意义乘法运算核心：左行乘右列2.2节矩阵的运算例3：1331131005AB3110053AB3100001550BA2.2节矩阵的运算矩阵的乘法满足如下运算律（1）结合律（AB）C=A（BC）（2）分配律（A+B）C=AC+BCC（A+B）=CA+CB（3）k(AB)=(kA)B=A(KB)k是一个数（4）EA=AE=A注意：（1）矩阵的乘法不满足交换律，即AB=BA不一定成立（2）若AB=0，不能推出：A=0或B=0（3）若AB=AC且A不是零矩阵，不能推出：B=C,即矩阵的乘法不满足消去律。2.2节矩阵的运算四矩阵的乘方（幂）设，则如下定义幂运算：注意：（１）（２）()nijAa,kkAAAAkN＝kkkABAB二项展开式不成立k例4.　设　A=，求A101kk解：A=1012.2节矩阵的运算例5Ｐ39例７例6Ｐ40例８102314A13'0124ATA五矩阵的转置A’（）2.2节矩阵的运算六方阵A的行列式|A|方阵求行列式的运算满足如下运算律:（设A,B都为n阶方阵)例7设三阶矩阵A的行列式|A|=3，则|-2A|='AAnkAkAABAB1234A12||234A33(2)||(2)324A2.3节逆矩阵定义：设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使得：AB=BA=E则称B为A的逆矩阵。这时称A为可逆矩阵。不是所有的矩阵都存在逆矩阵。若矩阵有逆矩阵，也称矩阵为非奇异矩阵；若无逆矩阵，则称为奇异矩阵。定理1：设A是一个n阶方阵，若A存在逆矩阵，则这个逆矩阵必定唯一。由于可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，故用记号A–1来表示A的逆矩阵2.3节逆矩阵可逆矩阵求逆矩阵的运算满足如下运算律:(A、B都可逆）11''AA1110kAkAk111ABBA11AA2.3节逆矩阵定义：设A是一个n阶方阵，则如下矩阵称为A的伴随矩阵。其中是A中元素的代数余子式。112111222212nnnnnnAAAAAAAAAAijAija2.3节逆矩阵定理2（可逆的充要条件）：n阶方阵A可逆A的行列式|A|≠0。且有：11||AAA2.3节逆矩阵例1判断矩阵A是否可逆。如可逆，求其逆矩阵。解：1*4211412311AAA113214124A*421412311A11321410124A2.3节逆矩阵例2求解方程组解：11AAxAb12312312331240241xxxxxxxxxAxb1123421134120231112xxxAbx123113214124xAxxx101b1xAb2.3节逆矩阵例3设求矩阵X使满足：AXB=C解：由于A–1，B–1存在，则用A–1左乘上式，用B–1右乘上式，有：1231321221,,205334331ABC1111AACBAXBB1121104104XACB矩阵方程2.3节逆矩阵例4设解：由于P–1存在，则用P–1右乘上式，得到1210,,,1402PAPPn求A11PPPAP121121APPAPPPPPP111nnAPPPPPP10100202nnnn11002nnAPPn一般性结论：Ｐ462.3节逆矩阵定理3：若：AB=E（或BA=E），则B=A–1例5设方阵Ａ满足A2－A－2E=0.证明A及A+2E都可逆并求逆矩阵。2.3节逆矩阵伴随矩阵的性质例6设矩阵A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，计算：（1）AA*（2）（A*）－1（3）|A*|解：（1）（2）（3）1**11AAAAAA*1nAAAAAAI**1nnAAAIAAIA1*1AAA*nAAAIAAAnnAInA方阵行列式的性质1*nAA2.4节矩阵分块法定义：子块分块矩阵运算：加法、数乘、乘法、转置、求行列式、求逆矩阵111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa11122122AAAA本章知识点矩阵的定义几种特殊的矩阵矩阵的六种运算的定义及其运算律矩阵分块法