Chapter1(2)行列式与克拉默法则教学要求:1.了解行列式的定义和性质;2.掌握三阶、四阶行列式的计算法,会计算简单的n阶行列式;3.了解排列与对换;4.会用克拉默(Gramer)法则解线性方程组.行列式的定义一..行列式的性质二.行列式的计算举例三.方阵乘积的行列式四.排列与对换六)Gramer(.法则克莱姆七.分块矩阵的行列式五.行列式的定义一定义1.二阶行列式定义为.2112221122211211aaaaaaaaD11a12a22a21a主对角线副对角线对角线法则2211aa.2112aa二阶行列式的计算定义2.三阶行列式定义为,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa三阶行列式的计算---对角线法则333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa注意红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号.说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.333231232221131211aaaaaaaaa考察三阶行列式如下:322311332112312213213213312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa)()()(312221321331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa323122213113333123212112333223221111)1()1()1(aaaaaaaaaaaaaaa133113122112111111)1()1()1(MaMaMa记为131312121111AaAaAa记为分别是和称131211131211,,,,AAAMMM.,,131211的余子式和代数余子式aaa定义3.代数余子式,212222111211列行与第所在的第中划去元素在jiaaaaaaaaaaijnnnnnn剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式,111111111111111111111111ijnnnjnjnnijijiinijijiinjjMaaaaaaaaaaaaaaaa记为.)1(;,的代数余子式称为而记为的余子式称为元素ijijjiijijijaMAMa定义4.2122221112112nnnnnnaaaaaaaaaDnn阶行列式个数组成的由是一个算式,且,1,1,111212111111111nAaAaAaAanaDnnnjjj.),,2,1(11的代数余子式是其中njaAjj注意:(1)行列式是一些乘积的代数和,每一项乘积都是由行列式中位于不同行不同列的元素构成的.).(!)2(1112111CCCCnnnn项阶行列式中共有(3)定义4中行列式按第一行展开,同样也可按第一列展开,甚至按行列式中任意行或列展开.由此可计算一些行列式.Example1..000221122211211nnnnnnnaaaaaaaaaD证明.)4(淆不要与绝对值记号相混一阶行列式aaProof.(数学归纳法);1时结论成立当n则阶行列式成立假设结论对,1nnnnnaaaaD022211)(2211nnaaannaaa2211nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000同理下三角行列式nndddddd2121000000,对角行列式特别地00000021n而不是对角行列式,nnnn212)1(21)1(000000且.行列式的性质二性质1行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.TDD记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaaD2121nnaaannaaa2112TDnnaaa2211性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如推论如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零.,571571266853.825825361567567361266853证明互换相同的两行,有.0D,DD性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式.kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.0注意与矩阵数乘运算的区别,.nnnAkkA性质5若行列式D的某一列(行)的元素都是两数之和:nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211则D等于下列两个行列式之和:nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD122211111122211111例如性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111nnnjnjninnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111k例如性质7.行列式按行(列)展开法则;,0,,1jijiAAankkjki当当;,0,,1jijiAAankjkik当当下面证明:.,022111jiAaAaAaAajninjijinkjkik证行展开,有按第把行列式jaAij)det(nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa11111111可得换成把),,,1(nkaaikjknnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa11111111行第j行第i相同,时当ji).(,02211jiAaAaAajninjiji同理).(,02211jiAaAaAanjnijiji.,,52153412081317114434241444的值求的代数余子式元素中为行列式已知四阶行列式AAAAaDADijij性质8.Laplace定理.)1(,,,,,,;,;,),11(,)1(212121212的代数余子式叫做则所在列的序号为所在行的序号为子式阶若的余子式称为阶行列式位置组成一个剩下的元素按原来的阶子式的称为阶行列式序组成一个个元素按原来的位置顺列交叉处的行位于这列行任取中阶行列式在MMjjjiiiMkMMknkAMkkkknkkkAnkkjjjiiikk.)(),11)((,AkknkkAn积之和等于行列式数余子式的乘阶子式与它们对应的代中所有列行则含在这列行任取中阶行列式在(2)Laplace定理2100032100032100032100032A如2103210322132210320031310210.行列式的计算举例三为方便起见,引用以下符号:.,,,,jiijiirkrjkikrkirrjiri行记为倍加到行的倍记为行的行记为交换行记为.,,,,jiijiickcjkikckiccjici列记为倍加到列的倍记为列的列记为交换列记为其一、利用行列式的性质,或通过将行列式化为三角行列式来计算行列式的值.199421022130113.2计算exSolution.1200422100211300131994210221301131422211132004210021300131422211130252414446ex3.已知204,527,255三数都能被17整除,不计算行列式的值,证明三阶行列式552725402也能被17整除.Solution.255525272520402552725402整除能被由已知条件可得17255525272520402.结论成立3351110243152113.4Dex计算Solution.21ccD331511204351213114125rrrr7216011206480213132rr72160648011202131242384rrrr1510001080011202131250001080011202131400)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(.52222222222222222ddddccccbbbbaaaaDex证明Solution.5232125232125232125232122222ddddccccbbbbaaaaD42124212421242122222ddccbbaa03111131111311113.6Dex计算Solution.4321rrrrD311113111131666631111311113111116其二、当行列式各行(列)元素之和相同时,应先把各列(行)加到第1列(行),提取公因式后再考虑.141312rrrrrr20000200002011116480.7212121xaaaaxaaaaxaxexnnn的方程求解关于Solution.xaaxaaaaxaxaaaaaxaaannnnnn221221221左边xaaaxaaaxaaannnn22221111)(xxaaxaaannrrnii00001)(22111)()1(2111xaaaxnnn故原方程的解为nnnaaaxxxx21121,0思考0111110111110111110111110D计算行列式)1()1(1nn其三、根据行列式的特点,利用行列式的性质,将行列式的某一行(列)化出尽量多的0元素,然后由定义按该行(列)展开.221111111111111111.8babbaaex证明Solution.1234rrrr左边bbbaaa0011110011111100111100111111baab421423rrrrrr110000000110