线性代数证明题

十．证明题：1.设rr2121211,,,，且向量组r,,,21线性无关，证明：向量组r,,,21线性无关。证设有一组数rkkk,,,，使0rrkkk，即0)()(rrkkk，亦即0rrrrkkkkkk)()(.因r,,,线性无关，故有.rrrkkkkkk,,可知此方程组只有零解：rkkk，所以向量组r,,,线性无关。4.设A、B都是n阶对称矩阵，并且B是可逆矩阵，证明：11ABBA是对称矩阵.证明：因为A、B为对称矩阵，所以BBAATT,1111111111()()()()()TTTTTTTABBAABBABAABBAABABBA则矩阵11ABBA是对称矩阵。5.设n阶矩阵的伴随矩阵为*，证明：1*n.证明：因为*⑴当0时，*0.用反证法：假设*0，则知*可逆，在等式*O左右两边同时右乘1*，得到O，于是*O，这与假设矛盾，可知当0时,有1*0n；⑵当0时，在等式*两边同时取行列式，得**n两边同时约去，得1*n.6.设向量b能由321,,这三个向量线性表示且表达式唯一,证明：向量组321,,线性无关。证明：（反证法）如果321,,aaa线性相关，则有一组不全为0的系数321,,使332211aaa=0（1），由已知设332211b，结合（1）式得333222111)()()(0aaabb（2）由于321,,不完全为零，则11，22，33与321,,不同，这与b表示法惟一相矛盾，故向量组321,,线性无关。7.设321,,是n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123，证明：不是A的特征向量。证明：假设123123112233AAAAAA，又：123112233A从而：1122330，由于特征值各不相等，所以321,,线性无关，所以的1231230，矛盾。故不是A的特征向量。8.已知向量组123,,aaa线性无关，1122baa，2233baa，3134baa，证明向量组123,,bbb线性无关.证明把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式123123201,,,,130,014bbbaaaBAK记，设0Bx，以BAK代入得()0AKx，因为矩阵A的列向量组123,,aaa线性无关，知0Kx的系数行列式250K，知齐次线性方程组0Kx只有零解0x。所以，齐次线性方程组0Bx只有零解0x，故矩阵B的列向量组123,,bbb线性无关。9.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2=b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑k0η0+k1η1+k2η2=0，即（k0+k1+k2）η0+k1ξ1+k2ξ2=0.则k0+k1+k2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以k1ξ1+k2ξ2=0.又由Ax=0的一个基础解系,所以，ξ1，ξ2线性无关，所以k1=k2=0，从而k0=0.故η0，η1，η2线性无关。10.设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，EA可逆，且1()()()fAEAEA。证明（1）(())()2EfAEAE；（2）(())ffAA。证明：（1）1(())()[()()]()EfAEAEEAEAEA1()()()()()()2EAEAEAEAEAEAE（2）1(())[()][()]ffAEfAEfA由（1）得：11[()]()2EfAEA，代入上式得11111(())[()()]()()()()()222ffAEEAEAEAEAEAEAEA11()()22EAEAA11.设A与B相似，证明：TA与TB相似。证明：因为A与B相似，故存在可逆矩阵P，使得1BPAP则111()()()TTTTTTTTBPAPPAPPAP且TP是可逆矩阵于是TA与TB相似。12.证明：矩阵A与B是正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵.证明：由题设，对任意x0都有0,0()0()TTTxAxxBxxA+Bxx0，由正定矩阵的定义，则AB也正定矩阵.13.一个n级行列式，假设它的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn证明，当n为奇数时，此行列式为零。证明：设nnnnnnaaaaaaaaaA，则111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的元素满足,,1,2,,,ijjiaaijn所以，112111112112222212221212(1)nnnnTnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAAAaaaaaa，于是，当n为奇数时，由(1)0.TnAAAA14.设矩阵A正交，证明：对于数k，若1,kkA则也正交证明：因为A正交，所以1TAA。从而111()()TkAkAkAAk正交，又1TAA，所以，1111()TTkAkAkAkAAk，211kk.15.设A、B为n阶正交矩阵，，证明：矩阵AB、1AB是正交矩阵。证明：因为A、B为n阶正交矩阵，所以,TTAAEBBE)()TTTTTABABABBAAEAAAE因为（所以AB是正交矩阵。（即两个同阶的正交矩阵的乘积也是正交矩阵）1115)P因为B是正交矩阵，所以B也是正交矩阵（1AB由以上结论得：也是正交矩阵。16.若0是可逆矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，证明：1是1A的特征值，是1A的属于1的特征向量；证明：因为A，则11AAA从而11A即1是1A的特征值，是1A的属于1的特征向量。