线性定常系统李式定理示例

线性定常系统李式定理示例例9.51：设二阶系统的状态方程为21211110xxxx很明显，原点是一个平衡状态。试确定这个状态的稳定性。解：设假定的李雅谱诺夫函数为()TVxxPx式中P由下式确定TAPPAI即1001111011102221121122211211pppppppp－这里2112pp。将矩阵方程展开，可得联立方程组1212p0221211ppp1222212pp可得121212322121211pppp验算P的正定性，计算P的各阶主子行列式值02311p，0121212322121211pppp因为P是正定的，因此在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。而李雅谱诺夫函数为：2211221(322)2TVxPxxxxx和)(2221xxV例9.52：判断系统xx2110的稳定性。解：选QI，根据式（9.145）有如下联立方程组1420212221222121112pppppp由此解得11132122121211ppppP验算P的正定性，计算P的各阶主子行列式值02311p，矩阵P是非正定，所以系统不是渐进稳定的。例9.53：确定图9.30中所示系统增益K的稳定范围。图9.30系统图解：系统的状态方程为ukxxxkxxx0010120010321321(9.147)在确定k的稳定范围时，假设输入u为零。于是方程(9.147)可写为32132110120010xxxkxxx可以看出原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵Q为：100000000Q(9.148)由于()TVxxQx除原点外不恒等于零，因此可以选择Q具有如上形式。注意到，23()TVxxQxx取)(xV恒等于零，这就意味着x3也恒等于零。如果x3恒等于零，那么x1也必恒等于Y(s)U(s)1Ks12s1s零。如果x1恒等于零，那么x2也恒等于零。于是)(xV只是在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由方程（9.148）所确定的矩阵Q。TAPPAQ即，1000000001012001011002100332313232212131211332313232212131211kppppppppppppppppk解：kkkkkkkkkkkkkkP212621202122123212602126212122为了使P为正定的矩阵，其充要条件为12-2k0和k0即0k6因此，对于0k6，系统是稳定的，也就是说原点在大范围内是渐近稳定的。例9.54：已知系统如下所示2()1()1YsUss试用李雅谱诺夫直接法分析这个系统的稳定性。解：在古典控制系统理论中，该系统是结构不稳定的。现在用李雅谱诺夫直接法分析，该系统的状态方程为：uxxxx1001102121即uxxxx1221取李雅谱诺夫函数为222121),(xxxxV（正定的）那么uxuxxxxxxxxxxxV22212122112122)(222),(根据李雅谱诺夫稳定性定理，为了保证系统的渐近稳定性，V必须是负定的。即2)(kxtu式中k为正常数。上式表明：必须使u（t）变化与x2的变化方向相反，才能使系统保持渐近稳定。如果同时存在一个外部输入信号r（t），则可取：)()()(2tkxtrtu为输入信号，即可保持系统的渐近稳定性。由于12xx，所以这实质上是一种速度反馈的补偿方式。