荆楚理工数学建模答案

荆楚理工学院课程设计成果学院:_____数理学院_______班级:1班学生姓名:xxxxxxxx学号:20设计地点（单位）____荆楚理工学院____________设计题目:___________插值在面积估值中的应用___________完成日期：201年月日指导教师评语:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________成绩(五级记分制):________________教师签名:_________________________插值在面积估值中的应用学院数理学院专业数学与应用数学年级班别11级1班学号2011409010107学生姓名熊佳文指导教师习长新2014年6月15日JINGCHUUNIVERSITYOFTECHNOLOGY插值在面积估值中的应用摘要：数据插值是指一组散乱（又称非均匀）分布的数据采样点在整个区域上构造一个基本的函数的过程，本问题运用了拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法在MATLAB中的算法程序，以及梯形公式计算数值积分，拉格朗日在运用在具有很高的实用价值，在此题中由拉格朗日插值算出的结果不符合实际，反而三次样条差值法得到的结果更精确，所以在实际应用中要注意。关键字：朗格朗日插值；分段线性差值；三次样条插值；MATLAB一、问题提出下表给出的x、y数据位于某零件端面的轮廓线上，Y1和Y2分别对应轮廓的上下边界线上的纵坐标。假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标，试完成加工所需数据，画出曲线，并求加工端面的面积。x035791112131415Y101.72.42.73.03.12.92.52.01.8Y201.31.82.02.12.01.81.21.01.8示意图:二、问题的分析题目所给出是一些离散的数据，并求出图形的近似面积，但难以找到它的解析式，直接求出其他一些点上的函数值是非常困难的，所以我们选择插值法。三、模型假设假设给定的点是完全精确的。假设计算机模拟过程不出现差错。四、符号及变量说明拉格朗日插值法的相关变量：1.记x对应的各点为ix(i=1,2...10)。2.记Y1对应的各点为jy1(j=1,2...10)。3.记Y2对应的各点为jy2(j=1,2...10)。4.记由x和Y1两组数确定的Lagrange插值基函数为jl1(j=1,2...10)。5.记由x和Y2两组数确定的Lagrange插值基函数为jl2(j=1,2...10)。6.记由x和Y1两组数确定的Lagrange插值多项式为1L7.记由x和Y2两组数确定的Lagrange插值多项式为2L五、模型的建立拉格朗日插值法：一般地，若已知y=f(x)在互不相同n+1个点nxxxx,,,,210处的函数值nyyyy,,,210(即该函数过),(,),,(),,(),,(221100nnyxyxyxyx这n个点），则可以考虑构造一个过这n+1个点的、次数不超过n的多项式)(xLyn,使其满足：nkyxLkkn,,2,1,0,)(解决这个问题时先从构造插值基函数入手,这里的插值基函数),,1,0(),(nkxlk是n次多项式,且满足条件kjkjxljk,1,0)(kj这表明除xk以外的所有节点都是),,1,0(),(nkxlk的零点,故,)()(0nkjjjkxxcxl由1)(kkxl确定其中的系数c,结果有nkjjjkjkxxxxxl0)(利用插值基函数容易得出拉格朗日插值多项式knknknkjjjkjkknyxxxxxlyxL000)()()(分段线性插值：所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f（x）。当给定n+1个点x0x1xn上的函数值0y1yny，先选取两个节点1ix，ix使1,iixxx，后在区间1,iixx上作线性插值得1111()()iiiiiiixxxxfxPxyyxxxx三次样条插值法：三次样条插值法，基于分段进行插值的思想。在给定的区间[a,b]上有n+1个节点满足bxxxan10，和这些点上的函数值iy，nxxx,,,10为样条节点。在每个区间],[1iixx上构造三次多项式1,,1,0],,[,)()(123nixxxdxcxbxaxSxSiiiiiii显然，解此多项式共需要4n个条件，由节点提供了n+1个条件；用每个内点的关系建立条件，又得到3n-3个条件；再附加两个边界条件，即可以唯一确定样条函数了。此样条函数的存在性和唯一性可以用待定系数法进行证明，这里略。实际计算时还需要引入边界条件才能完成计算。边界通常有自然边界（边界点的二阶导为0），夹持边界（边界点导数给定），非扭结边界（使两端点的三阶导与这两端点的邻近点的三阶导相等）。一般的计算方法书上都没有说明非扭结边界的定义，但数值计算软件如Matlab都把非扭结边界条件作为默认的边界条件。六、模型求解先用插值法绘图，再用求积法求面积。首先使用拉格朗日差值法，其次是分段线性差值法，最后使用三次样条差值。绘图得到如下三幅图，可以看出拉格朗日插值法得出的图形与实际不符，不予考虑。三次样条插值法得到的图形比分段线性插值法得到的曲线更光滑。差值完成后使用MATLAB以梯形求积公式得到零件面积分别为10.450010.6053。两种差值法得到的数据较为接近。七、模型的评价与改进比较三种插值算法的结果及所得来的图形，使用拉格朗日差值法得出的图形与示意图不符。三次样条插值出来的曲线要比分段线性插值更光滑。所以由三次样条差值法得来的某零件的面积最精确。八、参考文献[1]肖华勇.数学建模竞赛优秀论文精选与点评.陕西：西北工业大学出版社，2011[2]易大义，沈云宝，李有法.计算方法.杭州：浙江大学出版社，2002[3]刘卫国等编.MATLAB程序设计与应用：高等教育出版社，2010[7]赵静，但琦编.数学建模与数学实验：高等教育出版社，2012附录一：程序1clear,clcx0=[035791112131415];Y1=[01.72.42.73.03.12.92.52.01.8];Y2=[01.31.82.02.12.01.81.21.01.8];%步长x=0:0.1:15;%拉格朗日差值l1=lagrange(x0,Y1,x);l2=lagrange(x0,Y2,x);%分段线性插值Y1_in=interp1(x0,Y1,x);Y2_in=interp1(x0,Y2,x);%三次样条差值Y1_sp=spline(x0,Y1,x);Y2_sp=spline(x0,Y2,x);[x',Y1_in',Y1_sp',Y2_in',Y2_sp']subplot(1,3,1),plot(x,l1,x,l2,'b'),title('拉格朗日插值')subplot(1,3,2),plot(x,Y1_in,x,Y2_in,'b'),title('分段线性插值')subplot(1,3,3),plot(x,Y1_sp,x,Y2_sp,'b'),title('三次样条插值')trapz(x,l1)-trapz(x,l2)%梯形求积trapz(x,Y1_in)-trapz(x,Y2_in)trapz(x,Y1_sp)-trapz(x,Y2_sp)程序2%拉格朗日差值函数functiony=lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end附录二：某零件面轮廓线数据（省略一部分数据）xY1（线性）Y1（样条）Y2（线性）Y2（样条）000000.10000.05670.06410.04330.05180.20000.11330.12790.08670.10310.30000.17000.19130.13000.15390.40000.22670.25440.17330.20420.50000.28330.31720.21670.25390.60000.34000.37950.26000.30310.70000.39670.44140.30330.351813.50002.25002.24211.10001.004213.60002.20002.19051.08000.986113.70002.15002.14001.06000.976213.80002.10002.09121.04000.974913.90002.05002.04431.02000.982714.00002.00002.00001.00001.000014.10001.98001.95871.08001.027314.20001.96001.92081.16001.065114.30001.94001.88701.24001.113814.40001.92001.85751.32001.173914.50001.90001.83291.40001.245814.60001.88001.81371.48001.330114.70001.86001.80031.56001.427214.80001.84001.79331.64001.537614.90001.82001.79301.72001.661715.00001.80001.80001.80001.80000