线性微分方程的一般理论

1线性微分方程的一般理论摘要：本文描述了线性微分方程的定义,齐次线性微分方程的解的性质与结构,以及非齐次线性微分方程与常数变易法,给读者展示了线性微分方程的一般理论和解法.关键词：齐次线性微分方程；朗斯基行列式；通解；基本解组；常数变易法TheGeneralTheoryofLinearDifferentialEquationAbstract：Inthispaper,wedescribethedefinitionofalineardifferentialequation,thepropertiesandstructureofthesolutionsofthehomogeneouslineardifferentialequationandnonhomogeneouslineardifferentialequation,showingthereadersthelineardifferentialequationmethodofthegeneraltheoryofreconciliation.KeyWords:Homogeneouslineardifferentialequation;Langyankeesdeterminant;Generalsolution;Basicsetofsolutions;Methodofvariationconstant前言在微分方程的理论中,线性微分方程是很重要的一部分.线性微分方程是研究非齐次线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用.因此学习线性微分方程的一般理论是非常有用的.1.引言先讨论如下的n阶线性微分方程1111()()()()nnnnnndxdxdxatatatxftdtdtdt，(1)其中()(1,2,)iatin及()ft都是区间atb上的连续函数.如果()0ft,则方程(1)变为1111()()()0nnnnnndxdxdxatatatxdtdtdt，(2)我们称它为n阶齐次线性微分方程,简称齐次线性微分方程,而称一般的方程(1)2为n阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性方程.首先给出方程(！)的解的存在唯一性定理.定理1[1]如果()(1,2,)iatin及()ft都是区间atb上的连续函数,则对于任一0,tab及任意的0x,10x,,10nx,方程(1)存在唯一解xt,定义于区间atb上,且满足初值条件00tx,100dtxdt,,11001nnndtxdt.(3)2.齐次线性微分方程的解的性质与结构首先讨论齐次线性微分方程1111()()()0nnnnnndxdxdxatatatxdtdtdt.(2)根据“常数可以从微分号下提出来”以及“和的倒数等于倒数之和”的法则,容易得到齐次线性微分方程的解的叠加原理.定理2(叠加原理)如果1xt,2xt,,kxt是方程(2)的k个解,则它们的线性组合1122kkcxtcxtcxt也是(2)的解,这里1c,2c,,kc是任意常数.特别地，当kn时，即方程(2)有解1122nnxcxtcxtcxt(4)它含有n个任意常数.考虑定义在区间atb上的函数1xt,2xt,,kxt,如果存在不全为零的常数1c,2c,,kc,使得恒等式11220kkcxtcxtcxt对于所有,tab都成立,我们称这些函数是线性相关的,否则就成这些函数在所给区间上线性无关.有定义在区间atb上的k个可微1k次的函数1xt,2xt,,kxt所3做成的行列式1212'''1211112,,,kkkkkkkWxtxtxtxtxtxtxtxtxtWtxtxtxt成为这些函数的朗斯基行列式.定理3若函数1xt,2xt,,()nxt在区间atb上线性相关，则在,ab上它们的朗斯基行列式0Wt.证明有假设知,存在一组不全为零的常数1c,2c,,nc,使得11220nncxtcxtcxt，atb(5)依次对t微分此等式,得到'''1122''''''1122(1)(1)(1)11220,0,0.nnnnnnnnncxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxt(6)把(6)和(7)看成关于1c,2c,,nc的齐次线性代数方程组,它的系数行列式12,,,nWxtxtxt,于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零,即0Wt()atb.定理证毕.定理4如果方程(2)的解1xt,2xt,,()nxt在区间atb上线性无关,则12,,,nWxtxtxt在这个区间的任何点上都不等于零,即0Wt()atb.证明采用反证法.设有某个0t0()atb使得00Wt.考虑关于1c,2c,,nc的齐次线性代数方程组41102200'''1102200(1)(1)(1)1102200000.nnnnnnnnncxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxt(7)其系数行列式00Wt,故(7)有非零解1c,2c,,nc.先在以这组常数构造函数1122nnxtcxtcxtcxt,atb,根据叠加原理,xt是方程(2)的解.注意到(7),知道这个解xt满足初值条件(1)000'0nxtxtxt,(8)但是0x显然也是方程(2)的满足初始条件(8)的解.有解的唯一性,即知0xt()atb,即11220nncxtcxtcxt,atb.因为1c,2c,,nc不全为零,这就与1xt,2xt,,()nxt线性无关的假设矛盾.定理得证.根据定理3和定理4可以知道,由n阶齐次线性微分方程(2)的n个解构成的朗斯基行列式或者恒等于零,或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零.定理5[2]n阶齐次线性微分方程(2)一定存在n个线性无关的解.证明线性微分方程(2)存在满足下列初始条件101yx,'100yx,,(1)100nyx;200yx,'201yx,,(1)200nyx;00nyx,'00nyx,,(1)01nnyx的n个解1()yx,2()yx,,()nyx,0,,xxab.又因10200[(),(),,()]10nWyxyxyx,于是可知这n个解在,ab上线性无关.定理6[3](通解结构定理)如果1xt,2xt,,()nxt是方程(2)的n个线性无关的解,则方程(2)的通解可表为51122nnxcxtcxtcxt,(9)其中1c,2c,,nc是任意常数.且通解(9)包括了方程(2)的所有解.推论方程(2)的线性无关解的最大个数等于n.因此可得结论:n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间.方程(2)的一组n个线性无关解称为方程的一个基本解组.显然,基本解组不是唯一的.特别的,当01Wt时称其为标准基本解组.3.非齐次线性微分方程与常数变易法考虑n阶非齐次线性微分方程1111()()()()nnnnnndxdxdxatatatxftdtdtdt,(1)易见方程(2)是它的特殊形式,首先容易验证如下两个简单性质:性质1如果_()xt是方程(1)的解,而xt是方程(2)的解,则_()xtxt也是方程(1)的解.性质2方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解.有如下定理:定理7设1xt,2xt,,()nxt是方程(2)的基本解组，而_1()xt是方程(1)的某一解,则方程(1)的通解可表为_1122()nnxcxtcxtcxtxt,(10)其中1c,2c,,nc是任意常数.而且这个通解(10)包括了方程(1)的所有解.证明根据性质1易知(10)是方程(1)的解,它包含有n个任意常数,像定理6的证明过程一样,不难证明这些常数是彼此独立的,因此,它是方程(1)的通解.现设()xt是方程(1)的任一解,则由性质2,_()()xtxt是方程(2)的解,根据定理6,必有一组确定的常数1c,2c,,nc,使得_1122()()nnxtxtcxtcxtcxt,即6_1122()()nnxtcxtcxtcxtxt这就是说,方程(1)的任一解()xt可以由(10)表出,其中1c,2c,,nc为相应的确定常数,由于()xt的任意性,这就证明了通解表达式(10)包括方程(1)的所有解.定理证完.设1xt,2xt,,()nxt是方程(2)的基本解组，因而1122nnxcxtcxtcxt(11)为(2)的通解,把其中的任意常数1c看作t的待定函数()ict(1,2,,)in,这(11)变为1122()()()()()()nnxctxtctxtctxt.(12)将它代入方程(1)，就得到1ct,2ct,,nct必须满足的一个方程,但待定函数有n个,即1ct,2ct,,nct,为了确定它们,必须再找出1n个限制条件,在理论上,这些另加的条件可以任意给出,其法无穷,当然以运算上简便为宜,考虑下面的1n个条件.对t微分等式(12)得'''''''11221122()()()()()()()nnnnxctxtctxtctxtxtctxtctxtct,令'''1122()()()()0nnxtctxtctxtct，1(13)得到''''1122()()()nnxctxtctxtctxt.1(14)对t微分等式(12),并像上面一样做法,令含有函数'()ict的部分等于零,我们又得到一个条件''''''1122()()()()0nnxtctxtctxtct2(13)和表达式''''''''''1122()()()nnxctxtctxtctxt.2(14)7继续上面做法,在最后一次我们得到第1n个条件.(2)'(2)'(2)'1122()()()()0nnnnnxtctxtctxtct1(13)n和表达式(1)(1)(1)(1)1122()()()nnnnnnxctxtctxtctxt1(14)n最后,对t微分1(14)n得到()()()()1122(1)'(1)'(1)'1122()()()()()()()nnnnnnnnnnnxctxtctxtctxtxtctxtctxtct(14)n现将(12),1(14),2(14),,(14)n代入(1),并注意到1xt,2xt,,()nxt是方程(2)的解，得到(1)'(1)'(1)'1122()()()()()nnnnnxtctxtctxtctft(13)n这样,我们得到了含n个未知函数'()ict(1,2,,)in的n个方程1(13),2(13),,(13)n它们组成一个线性代数方程组,其系数行列式就是12,,,nWxtxtxt,它不等于零,因而方程的解可以唯一确定,设求得'()()iictt,1,2,,in,积分得'()