线性方程组解的判定

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

1第四节线性方程组解的判定从本节开始,讨论含有n个未知量、m个方程的线性方程组的解。11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(13—2)主要问题是要判断出方程组(13-2)何时有解?何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。线性方程组有没有解,以及有怎样的解,完全决定于方程组的系数和常数项。因此,将线性方程组写成矩阵形式或向量形式,以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。方程组(13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为方程组(13-2)的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵,称为增广矩阵,记作A,即11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab方程组(13-2)中的未知量组成一个n行、1列的矩阵(或列向量),记作X;常数项组成一个m行、1列的矩阵(或列向量),记作b,即12nxxXx,12mbbbb由矩阵运算,方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212nnmmmnaaaaaaaaa12nxxx=12mbbb即AX=b2如果令112111maaaa,122222maaaa,…,12nnnmnaaaa则方程组(13-2)的向量形式为1122nnaxaxaxb定理1(有解判定定理)方程级(13-2)有解的充分必要条件是:秩(A)=秩(A)推论1线性方程组(13-2)有惟一的充分必要条件是r(A)=r(A)=n.推论2线性方程组(13-2)有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r(A)n.例1判断下列方程组是否有解?若有解,是有惟一解还是有无穷多解?(1)12312312331334591xxxxxxxxx(2)12312312331334590xxxxxxxxx(3)12312312331334580xxxxxxxxx解(1)113111311131313404610461159104600001A所以秩(A)=3,秩(A)=2;秩(A)≠秩(A),故方程组无解。(2)113111313134046115900000A秩(A)=秩(A)=2n(=3),故方程组有无穷多解。(3)113111313134046115800010A秩(A)=秩(A)=3=n,故方程组有惟一解。3方程组(13-2)12,,,mbbb全为零时,称为齐次线性方程组。即111122121122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax(13-3)其矩阵形式为AX=0对齐次线性方程组(13-3)而言,显然,其增广矩阵A的秩与系数矩阵A的秩相等,即秩(A)=秩(A),由定理1可知它总是有解的。比如120nxxx就是方程组(13-3)的一个解,常称之为零解。但所关心的是方程组(13-3)在何条件下有非零解。将推论1及推论2应用到齐次线性方程组(13-3)上,得到以下结论。推论3齐次线性方程组(13-3)只有零解的充分必要条件是r(A)=n.推论4齐次线性方程组(13-3)有非零解的充分必要条件是r(A)n.例2试问线性方程组1231231230200xxxxxxxxx当λ取何值时有非零解。解方程组为齐次线性方程组,对其系数矩阵进行初等变换,化成阶梯形矩阵12111112101011001A当λ-1=0,即λ=1时,r(A)=2n(=3),由推论4,该方程组有非零解.学生板演巩固练习:1.2.3.4.总结归纳:通过本节的学习,能对线性方程组解的的情况作出准确判定。课外作业:习题1.2.3

1 / 3
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功