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线性系统理论实验报告学院：电信学院姓名：邵昌娟学号：152085270006专业：电气工程线性系统理论Matlab实验报告1、由分析可知系统的状态空间描述，因系统综合实质上是通过引入适当状态反馈矩阵K，使得闭环系统的特征值均位于复平面S的期望位置。而只有当特征根均位于S的左半平面时系统稳定。故当特征根是正数时系统不稳定，设计无意义。所以设满足题目中所需要求的系统的期望特征根分别为λ1*=-2，λ2*=-4。(a)判断系统的能控性，即得系统的能控性判别矩阵Qc，然后判断rankQc，若rankQc=n=2则可得系统可控；利用Matlab判断系统可控性的程序如图1(a)所示。由程序运行结果可知：rankQc=n=2，故系统完全可控，可对其进行状态反馈设计。(b)求状态反馈器中的反馈矩阵K，因设系统的期望特征根分别为λ1*=-2，λ2*=-4；所以利用Matlab求反馈矩阵K的程序如图1(b)所示。由程序运行结果可知：K即为所求状态反馈控制器的状态反馈矩阵，即由该状态反馈矩阵所构成的状态反馈控制器能够满足题目要求。图1(a)系统的能控性图1(b)状态反馈矩阵2、(a)求系统的能控型矩阵Qc，验证若rankQcn=5，则系统是不能控的。利用Matlab验证系统能控性的程序如图2(a)所示：由程序运行结果可知：rankQc=4n=5，而系统为5阶系统，所以系统为不可控。(b)求u到y的传递函数，并确定新的状态变量模型。利用Matlab求u到y的传递函数及新的状态变量模型的程序如图2(b)和2(c)所示：由程序运行结果可知所得的新的状态变量模型的n=4，造成这种情况的原因在于原系统为不可控系统，因rankQc=4，传递函数只能表述系统中可控的部分，故新的状态变量模型为4阶系统。(c)证明新的状态变量的模型为可控的，即若rankQc1=n=4则新的状态变量的模型即为可控的；故利用Matlab证明新的状态变量的模型为可控的程序如图2(d)所示：由程序的运行结果可知：rankQc1=n=4，即可得新的状态变量的模型完全能控。(d)判断系统的稳定性，可采用李雅普洛夫特征值法进行判定；利用Matlab判断系统的稳定性的程序如图2(e)所示：由程序的运行结果可知：特征值的根的实部均不为正数，故系统在李雅普洛夫意义下稳定。图2(a)系统的能控性图2(b)u到y的传递函数图2(c)系统脉冲传递函数与状态空间表达(c)证明新的状态变量的模型为可控的，即若rankQc1=n=4则新的状态变量的模型即为可控的；故利用Matlab证明新的状态变量的模型为可控的程序如图2(d)所示：由程序的运行结果可知：rankQc1=n=4，即可得新的状态变量的模型完全能控。(d)判断系统的稳定性，可采用李雅普洛夫特征值法进行判定；利用Matlab判断系统的稳定性的程序如图2(e)所示：由程序的运行结果可知：特征值的根的实部均不为正数，故系统在李雅普洛夫意义下稳定。(e)讨论状态变量模型的能控性和复杂性的关系。因一个系统能控需能控型判别矩阵的秩等于系统的维数，即rankQc=n，也即等于状态变量的个数。但系统越复杂，状态空间描述中应用的状态变量的个数也越多，rankQc=n也就越大，也就越难达到要求，所以系统的能控性就越难以满足。综上所述可知，越复杂的系统就越难实现完全可控。图2(d)状态变量的模型能控性图2(e)系统的稳定性3、(a)求系统矩阵A的特征值，并判断其稳定性，可采用李雅普洛夫特征值法进行判定；图3(a)系统的稳定性图3(b)系统矩阵A的特征值图3(c)系统的能控性利用Matlab判断系统的稳定性的程序如图3(a)所示：由程序的运行结果可知：系统矩阵的特征值有两个根的实部为正数，故系统不稳定。(b)利用Matlab的poly函数求系统矩阵A的特征值的程序如图3(b)所示：由程序的运行结果可知：poly函数与eig函数所求出的特征值不同，但结果都表明系统是不稳定的。(c)判断当u1与u2分别发挥作用时，系统的能控性；利用Matlab判断系统的能控性的程序如图3(c)所示：由程序的运行结果可知：当u1与u2分别发挥作用时，rankQc1=rankQc2=n=4，即其秩等于系统的维数，故可得系统在u1与u2分别发挥作用时，系统均能控。4、(a)判断系统的稳定性，可采用李雅普洛夫特征值法进行判定；利用Matlab判断系统的稳定性的程序如图4(a)所示：图4(a)系统的稳定性由程序的运行结果可知：系统矩阵A的特征值中有一个为正数，故系统不稳定。图4(b)系统的能控性(b)求当u1发挥作用时的能控型判别矩阵Qc1，若rankQc1=n=6，则系统可控；利用Matlab判断系统的能控性的程序如图4(b)所示：由程序的运行结果可知：当u1发挥作用时rankQc1=4n=6，故系统不能控。(c)求当u2发挥作用时的能控型判别矩阵Qc2，若rankQc2=n=6，则系统可控；利用Matlab判断系统的能控性的程序如图4(c)所示：当u2发挥作用时rankQc2=4n=6，故系统不能控。图4(c)系统的能控性图4(d)系统的能控性(d)求当u3发挥作用时的能控型判别矩阵Qc3，若rankQc3=n=6，则系统可控；利用Matlab判断系统的能控性的程序如图4(d)所示：由程序的运行结果可知：当u3发挥作用时rankQc3=2n=6，故系统不能控。(e)求由u2到漂移量的传递函数；利用Matlab判断系统的能控性的程序如图4(e)所示：图4(e)系统的能控性由程序的运行结果可得所求传递函数G。(f)求G所对应的状态变量模型，并验证其为能控系统；利用Matlab判断系统的能控性的程序如图4(f)和4(g)所示：由程序的运行结果可知：新的状态变量模型的能控型判别矩阵Qc1的秩，即rankQc1=n=4，故新的状态变量系统可控。图4(f)系统的能控性图4(g)系统状态空间表达图4(h)状态反馈矩阵(g)设计状态反馈控制器，即求所对应的状态反馈矩阵K，使得其闭环极点为S1=-1+j，S2=-1-j，S3=-10，S4=-10；利用Matlab求解状态反馈矩阵的程序如图4(h)所示，所求的k即为状态反馈矩阵。5、由课本中的分析可得，系统的一阶数学模型0.0979Δ0.0262Δ--0.3397xx。由于要设计风力机转速的闭环PI控制，且将风速的变化视为扰动，则可得带有PI控制器的风力机控制系统，如图5(a)所示：图5(a)含PI控制器的风力机控制系统其中PI控制器的模型为K1+K2/S，故系统闭环特征方程为S2+0.3397K1S+0.3397K2=0。因要想使风力机稳定运行，则需特征方程的根具有负实部；故利用Matlab求解的程序如图5(b)所示：图5(b)特征方程解由程序的运行结果可知：只有特征根具有负实部时，风力机系统才能稳定运行，故分别取K1≦180，K2≦86，则此时得到的PI控制器将满足要求。6、采用状态反馈和极点配置算法，设计风力机转速的闭环控制系统，即确定状态反馈矩阵K，从而使得系统矩阵的特征根为期望特征根。设期望的系统矩阵特征根为λ1*=-1，λ2*=-5，λ3*=-7；则利用Matlab判断系统可控性及求解状态反馈矩阵的程序如图6(a)所示：由程序的运行结果可知，由K所构成的状态反馈器可满足要求。图6(a)系统能控性及状态反馈矩阵7、对风力机三阶模型系统进行LQR控制器设计，因已知系统的系统矩阵和输入矩阵，故需求加权矩阵Q，R，设Q=diag([1,1,1])；R=1；则利用Matlab中的lqr函数进行LQR控制器设计的程序如图7(a)所示。图7(a)状态反馈矩阵由程序的运行结果可知：K即为LQR控制器中的状态反馈矩阵。8、设计风力机三阶模型的状态反馈及其状态观测器，且为降维状态观测器，因rankC=1，故可得降维状态观测器的维数为dim∑ROB=3-1=2。设状态反馈的期望极点为λ1*=-1，λ2*=-2，λ3*=-3，状态观测器的期望极点为λ4*=-5，λ5*=-7，则利用Matlab判断系统可控性及求解状态反馈矩阵的程序如图8(a)所示：由程序的运行结果可知，K1即为状态反馈控制器的状态反馈矩阵，L为降维观测器所求矩阵，而R,S,T,U矩阵则为构成状态反馈器所需中间矩阵。由所求矩阵K1;R;S;T;U则可构状态反馈控制器与降维观测器。