线性规划常见题型及解法+均值不等式专题

1线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0CByAx表示直线0CByAx某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界，0CByAx所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0CByAx同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入CByAx，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0yx），从CByAx00的正负即可判断0CByAx表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点（0，0）。（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,yx）和（22,yx）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.22.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyxy，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]二、求可行域的面积例2、不等式组260302xyxyy表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503xyxyx，使z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、13五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330xyxyxy，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、13，255六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）七、线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产品木料(单位m3)第一种第二种圆桌0.180.08衣柜0.090.2842.线性规划问题的一般数学模型是:已知nmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(这n个式子中的“”也可以是“”或“=”号)其中aij(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m),bi(i=1,2,…,n)都是常量,xj(j=1,2,…,m)是非负变量,求z=c1x1+c2x2+…+cmxm的最大值或最小值,这里cj(j=1,2,…,m)是常量.(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中，最优解(x,y)通常要满足x,y∈N，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解.1．平移找解法作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l，直线l最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产品木料(单位m3)第一种第二种圆桌0.180.08衣柜0.090.285例2有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于31配套，怎样截最合理？解：设截500mm的钢管x根，600mm的y根，总数为z根。根据题意，得，目标函数为，作出如图所示的可行域内的整点，作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t经过可行域内且和原点距离最远的点B（8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。二、整点调整法先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．例3．已知,xy满足不等式组230236035150xyxyxy，求使xy取最大值的整数,xy．解：不等式组的解集为三直线1l：230xy，2l：2360xy，3l：35150xy所围成的三角形内部（不含边界），设1l与2l，1l与3l，2l与3l交点分别为,,ABC，则,,ABC坐标分别为153(,)84A，(0,3)B，7512(,)1919C，作一组平行线l：xyt平行于0l：0xy，当l往0l右上方移动时，t随之增大，∴当l过C点时xy最大为6319，但不是整数解，又由75019x知x可取1,2,3，当1x时，代入原不等式组得2y，∴1xy；当2x时，得0y或1，∴2xy或1；当3x时，1y，∴2xy，故xy的最大整数解为20xy或31xy．ABCxyO1l3l2l6练习：线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题。1、设变量x、y满足约束条件1122yxyxyx，则yxz32的最大值为。2、已知1,10,220xxyxy则22xy的最小值是.3、在约束条件0024xyyxsyx下，当35s时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]4、已知变量x，y满足约束条件1422xyxy。若目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为。5、在平面直角坐标系中，不等式组20200xyxyy表示的平面区域的面积是（）(A)42(B)4(C)22(D)26、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件.112,932,22115xyxyx则1010zxy的最大值是(A)80(B)85(C)90(D)957用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。一、几个重要的均值不等式①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；②当且仅当a=b时，“=”号成立；③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a=b=c时,“=”号成立；④，、)(222Rbabaababba)(3333Rcbacbaabcabccba、、,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧1、求几个正数和的最小值。例1、求函数21(1)2(1)yxxx的最小值。2、求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2yxxx②2sincos(0)2yxxx83、用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、yR，求4()fxxx)10(x的最小值。4、条件最值问题。例4、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数xy、满足3xyxy，试求xy、xy的范围。9三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、添、减项（配常数项）例1求函数221632yxx的最小值.2、配系数（乘、除项）例2已知0,0xy，且满足3212xy，求lglgxy的最大值.3、裂项例3已知1x，求函数521xxyx的最小值.104、取倒数例4已知102x，求函数2(1)(12)xyxx的最小值.5、平方例5已知0,0xy且22283yx求262xy的最大值.6、换元（整体思想）例6求函数225xyx的最大值.117、逆用条件例7已知191(0,0)xyxy,则xy的最小值是（）.8、巧组合例8若,,0abc且()423aabcbc,求2abc的最小值.9、消元例9、设,,xyz为正实数，230xyz，则2yxz的最小值是.、