线性规划模型的建立及投入—产出模型研究

长江师范学院本科毕业论文·线性规划模型的建立及投入—产出模型研究第1页共16页1引言数学对于当代世界的科技、经济、军事发展有着至关重要的作用，可以说是起到了决定性的主要力量，数学应用的领域的广泛性就是最好的力证。我们每天每时每刻都在运用数学，也在接受数学的惠赠。不论是在每天的经济贸易的往来中，还是在科学方面的运用，例如智能化科技、航空航天、交通运输、医药卫生、农业生产，甚至军事科技战略支持，时时事事都用到了数学，这些应用展现了数学的无穷力量和魅力。数学作为一门学科，也是一门科学，从它产生开始就不断的发展和完善，但是数学的发展是无穷尽的。经过了几千年的发展，数学学科的分支越来越多，应用的方面愈加广泛。数学也从理论研究开始向现实应用进行转变。数学分支的高等代数学科的成熟，分化出了线性代数，线性代数与现代社会科技生活的结合，催生了“线性规划”，用以解决人们面临的各种实际问题。线性规划（LinearProgramming），是一种辅佐人们进行科学生产和优化管理的方法，英文简写LP。它的研究很早就开始进行，发展的过程迅速，并且它的运用广泛，经过长期的发展，计算方法趋于成熟。被大量的运用于军事战备、经济、生产经营管理和工程等方面。在各种经济活动中，赚取利润是人们的首要目标，而提升经济利润一般是通过两种方法：一种是在技术方面进行改善，比如改善工艺技术，倡导使用新的原料和设备；第二种是生产组织与计划的改良，也就是合理地分配资源。线性规划的研究目的：在一定的限制条件下，根据实际的情况合理分配物力、人力等资源，促使经济效益达到最佳。要对线性规划问题进行研究，就需要针对实际情况，建立数学模型，其方法如下：（1）依据指标因素的制约，找到决策变量，也就是制约条件；（2）确定目标函数，由决策变量与指标之间的函数变量关系来确立；（3）找出决策变量因受约束而必须要满足的条件。诺贝尔经济学奖获得者列昂惕夫，他创造了经济数学模型研究的新世纪。提出了许多和经济相关的数学模型，比如“交易模型”。交易模型：其内容是一个国家的经济由多个部门构成，如各种制造、交通、娱乐和服务业。假设我们知道每个部门年度的总产出，并精确知道该总产出是如何在其他经济部门进行分配或“交易”的。称一个部门产出的总货币价值为该产出的价格。那么将有下面的论断：有一个能够指派给每个部门总产出的价格，使得每个部门的总收入恰等于它的总支出，由此能达到各生产部门的平衡。本文首先介绍线性规划，了解线性规划的起源、发展，以及线性规划在现代社会生活中的应用。其次讲授了几种常见的线性模型，以及线性模型的表达形式，如标准形式、矩阵形式、向量形式、Σ简写长江师范学院本科毕业论文·线性规划模型的建立及投入—产出模型研究第2页共16页形式。了解了相当的解法，会解决一般的线性规划问题。最后，在了解了相当的线性解法后，在此基础上提出交易模型和投入-产出模型，并通过相关例题给出相应的解法，以此来认识投入—产出模型。2线性规划2.1线性规划问题的由来线性规划在20世纪初开始出现，在20世纪中得到发展，在二战后期基本完善，冷战时期获得进一步发展并走向成熟。其方法与理论，在二战时期的军事作战上发挥了重大作用；发展至今，与当今社会需求结合，线性规划在经济决策、科学研究方面也得到了广泛的运用和发展。类似于“线性规划”的运筹学思想在我国古代也有，产生得很早，并且得到了许多的应用。如“系统考虑，全局统筹”的哲学思想，在各代思想家的观念之中都有体现，其中不乏以军事家孙子为代表的杰出人物。大家耳熟能详的也有刘邦对张良的称赞，“运筹帷幄，决胜千里”。对线性规划理论和方法做出重要贡献的外国科学家主要有：乔治•丹泽格（antzigeorgeDG），他在1947年提出了单纯形法，是一种用以求解线性规划问题的方法。该算法在实际中受到了广泛的重视，并被列为20世纪的十大算法之一。康托洛维奇在1939年提出了“乘数解法”的求解方法，这是一种类似于线性规划的数学模型。1960年，《最佳资源利用的经济计算》正式发表，这本书在国际上受到了广泛的关注，康托洛维奇因此成就获得了诺贝尔奖。至今，线性规划的方法在国际上广泛应用，其作用领域愈加宽广。对经济问题的分析，对科学技术的辅助，对军事战备的筹划，线性规划已经渗透到当今时代的各个领域。2.2线性规划问题的应用范围线性规划方法的应用领域非常广泛，在各种领域，只要存在能够用多种的方法来解决的现实问题，都可以利用线性规划来求取最佳方案。（1）企业营销策划一旦产品对于用户而言具有使用的价值，就会有市场贸易，但是有市场并不能保证市场贸易交流都能盈利。要想在同行业的竞争中的优胜，除了要提高产品的质量、降低生产的成本，提供优质的服务外，还需要有能够获利的营销策划，这就需要用到线性规划。（2）产品生产计划在通常的企业中，生产常常需要同营销计划相结合，但生产目标却不能单一的随着营销计划而执行。这是由于产品的发展具备两个基本的驱动力：一个是市场的需求，另一个则是在技术方面的革新。市场需求具有技术的盲目性，技术革新具有市场的盲目性，单靠某一个单一的因素来制定生产计划，极有可长江师范学院本科毕业论文·线性规划模型的建立及投入—产出模型研究第3页共16页能导致企业走向失败。于是在技术驱动和市场牵引的诸因素之间，需要进行某些优化选择。（3）物流管理在物流成本占总成本比例相对较高的商业行业，需要优化物流策划方案，如若不然，获得的利润将被物流费用所侵吞。（4）理财与投资产品经营只是企业经营的一个方面，另一个方面是资本与资产经营。如何理财、如何投资，已经成为企业经营者必须面对的问题。在这些问题中，资产的运作和资本的运作却是高风险，高回报的业务。如果计划得好，则能获得高收入；反之，则会造成巨大的损失。因此，优化与运筹在该领域发挥着巨大的作用。另外，在人事管理、综合评价、设计优化、宏观经济调控、城市管理、农业种植等等方面，规划和统筹都可以发挥重要作用。简言之，只要能使用线性约束条件，都可以用线性方法求取一个最好的方案解决具体问题。但当方程中含有二次或者二次以上方幂的变量，或者变量不跟随其他因素的变化而改变，以及变量不具有确定性取值规则的问题，则不属于线性规划的范畴。2.3求解线性规划问题的基本原则求解线性规划问题大致遵循如下原则：第一步，也是规划过程中最为关键的一步：提出问题，进行抽象。这一步涉及确定优化目标、明确约束条件，找到决策的变量和已知资源的参数。如果在这个步骤中出现错误，那么整个规划就会变得毫无意义，也就会导致后面的步骤无法进行。因此，一定要对该问题进行全面的了解和控制，明确已知和未知的因素，精确约束条件，明确规划目标。第二步，建立科学合理的数学模型。根据第一步的结果，参照规划模型的构成原则，把决策变量、约束条件和资源参数之间的关系，用恰当的数学式子表达出来，并确定建立上述各要素之间严格的数学关系。第三步，求解和检验结论。即用数学方法对数学模型进行求解，并对所求得的解进行验证；依靠与问题相关的专业知识对解进行检验，当结果与实际情况不符时，就要及时返回检查，看数学模型是否错误，或者输入的数据是否有误。第四步，分析解的灵敏度。常规情况下，线性规划的问题随着某些资源变化会发生相应的改变。通过运用科学的算法，确定各种参量的变化范围，知道最优解受哪些参数变化的影响。最后，把各个步骤获得的准确解带入到实际问题中去验证。如果实际问题的各种制约因素发生了改变，则应当立刻回到第长江师范学院本科毕业论文·线性规划模型的建立及投入—产出模型研究第4页共16页一步，修改抽象条件，重建数学模型，重新求解，以便及时调整规划内容，适应变化了的新情况。3线性规划问题的数学模型3.1线性规划模型的建立解决规划问题是根据实际情况，在各种约束条件下求解，得到资源最合理的利用和调配的一种方式。它的基本方法是：为使预期的指标达到最优，必须要满足一定的限制条件。其研究内容主要为两个方面：一个是资源的总量已确定，如何合理的利用、分配，使任务实现得最多；二是任务资源数量已经确定，通过策划，能够用最少的资源去完成任务。前一个方面是求极大的问题，后一方面是求极小问题。线性规划问题的一般性表达，其数学模型如下：错误!未找到引用源。(1)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。s.t.错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。称为决策变量错误!未找到引用源。称为目标函数系数错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)称为约束右端系数错误!未找到引用源。称为约束系数其中式（1）为目标函数，式（2）为限制条件。线性规划问题的表达形式多种多样，现给出如下标准形式：（1）标准形式),,1(0max221122222121112121112211njxbxaxaxabxaxaxabxaxaxaxcxcxczjmnmnmmnnnnnn(2)Σ记号简写式长江师范学院本科毕业论文·线性规划模型的建立及投入—产出模型研究第5页共16页),...,2,1(0),...,2,1(max11njxmibxaxczjnjijijnjjj（3）矩阵形式0maxXbAXCXz式中错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。0...000,...,.....................321212222111211bbbbaaaaaaaaaAmnmmnn（4）向量形式0max1XbxpCXznjjj式中C,X,b,0的含义与矩阵的表达式相同，而错误!未找到引用源。即),...,,(21npppA。将非标准形式化为标准形式的情况（3种基本情况）（1）目标函数为求极小值MinZ=CX,则作Z’=-CX,即MaxZ’=-CX(2)右端项小于0则将两端同乘（-1），不等号方向改变，然后再将不等式改为等式（3）约束条件为不等式倘使限制条件为“≤错误!未找到引用源。”，则可在不等式左侧加上非负松驰变量，使其转化为“＝”；若限制条件为“≥”，则在不等式的左侧减去一个松弛变量，使其转化为“＝”。3.2线性规划模型的求解方法长江师范学院本科毕业论文·线性规划模型的建立及投入—产出模型研究第6页共16页3.2.1图解法由于图解法的局限性，使得使用图解法的时候仅适合于含有两个决策变量的具体问题。在平面内建立直角坐标系，使每个决策变量的取值在一个数轴上表示出来，可行解就成为平面上的点，可行域就是平面上满足不等式组的公共区域，从而最优解必定是落在这个平面区域内或者边界上的点。根据目标函数在这个平面区域内的取值找出使目标函数取得最优值的点。当线性规划问题的规模较大时，图解法就不再适用。在面临只具有两三个变量的规划问题时，可以使用图解法。图解法的特点是操作简单、图形清晰易懂。举例只有两个变量的情况。在平面上作图，可以对只含有两个变量的问题进行求解，方法如下：（1）在直角坐标系上作图，以X1为横坐标，X2为纵坐标，在坐标轴上选取适当的单位长度。由于变量非负，可知所有解均落在在第一象限。（2）根据约束条件在坐标系上作图，可以得到满足限制条件的可行域。（3）通过画图可以确定函数变化的方向，即增大或者变小。（4）函数图象存在一个交点，这个交点就是使目标函数达到最优解的最优点。下面来讲解一个实例：例1．某个木材厂厂生产木床和衣柜这两种家具，要用到实木和板木这两种木料，实木有723m，板木有563m，每制作一张木床和衣柜所需木料下表已给出。假设生产一张木床可赚取60元，一个衣柜可盈利100元。那么在现有情况下，要制作多少木床和衣柜，能盈利最大？表3—1解：假定要制作木床x张，衣柜y个，获利为z元，可知模型为：错误!未找到引用源。,产品木材(单位3m)实木板木木床0.180.08衣柜0.090.28长江师范学院本科毕业论文·线性规划模型的建立及