平面向量的概念+加减法运算

2.1向量的基本概念一、向量的定义既有大小，又有方向的量叫做向量。二、向量的表示方法有向线段（起点、）1几何表示法：a，b2字母表示法：ABB（终点）A（起点）方向、长度单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。2．两个特殊向量：问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？三、向量的有关概念零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作0。1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。|a||AB|或记作P1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（）判断题2.向量的模是一个正实数。（）3.若|a||b|，则ab注:向量不能比较大小•长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，•但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”这种说法是错误的.3．向量间的关系平行向量又叫做共线向量各向量的终点与直线l之间有什么关系？如：abc（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作a∥b∥c规定：0与任一向量平行。问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的一点O，这时它们是不是平行向量？ol.COC=cAOA=aOB=bB向量相等向量平行平行向量一定是相等向量吗?相等向量一定是平行向量吗?（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记作：a=b规定：0=0ab1.若非零向量AB//CD，那么AB//CD吗？2.若a//b,则a与b的方向一定相同或相反吗？o.baABCDDCBA11个例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中与向量OA相等的向量。OA=DO=CB变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向相反的向量？存在，为FECB、DO、FE变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？1.下面几个命题：（3）若|a|=|b|，则a=b（2）若|a|=0，则a=0|a|=|b|a∥b（4）两个向量a、b相等的充要条件是（1）若a=b，b=c，则a=c。当b≠0时成立。变：若a∥b，b∥c,则a∥cA．0B.1C.2D.3其中真命题的个数是()（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平形四边形的充要条件。ABDCBACD向量定义长度（模）表示几何表示法：有向线段符号表示法：零向量单位向量向量间的关系相等平行（共线）a，bAB向量的有关概念特殊向量小结:向量加法、减法运算及其几何意义知识回顾1.向量与数量有何区别?2.怎样来表示向量?3.什么叫相等向量向量?数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所指方向表示向量的方向。AB2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.如aAB,长度相等,方向相同的向量相等.(正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.)上海香港台北引入1：上海香港台北OABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法则：abbaabCAB,,,,abAABaBCbACabababABBCAC、内点，则与，记则这称为已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即种求向量和向量加法的三角方法，形法的。首尾相接尝试练习一：ACABCDE_____ABBC_____BCCD_____ABBCCDBDAD（1）根据图示填空：_____ABBCCDDEAE例1.如图，已知向量，求作向量。,ababab则OBabOABaba三角形法则作法1：在平面内任取一点O，作，，OAaABbb例题讲解：思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形法则是否还适用？如何作出两个向量的和？abab（1）（2）||||||ababab若，方向相同，则ABCBCAabab00aaa规定：||||||||||abababba若，方向相反，则（或）当向量不共线时，和向量的长度与向量的长度和之间的大小关系如何？ab、||abab、||||ababab三角形的两边之和大于第三边||||||ababab当向量、不共线时有综合以上探究我们可得结论：||||||abab图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？MCEOF1F2图1MEOF图2F=F1+F2F2F1F引入2：OABCabba,OabOACBOOCaabbabOAOBOC点为点两个为邻边则为点对线与这平行四边则称为以同一起的已知向量、作,以起的角就是的和即向量加法的种求向量和的方法，形法。起点相同向量加法的平行四边形法则：OABCabba起点相同向量加法的平行四边形法则：文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。例1.如图，已知向量，求作向量。,abababO例题讲解：作法2：在平面内任取一点O，作，，OAaOBbOAOB、以为邻边作OACB，.OCOAOBab连结OC，则abbaBCA平行四边形法则尝试练习二：(3)已知向量，用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出ab、ab①②abbba思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意，有,abR,abba()().abcabc那么对任意向量的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。,abOABCabbaabbaabccbcbaACDabba()().abcabc例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23ADBC,ADABADABABCDAC图，，，、为邻边则实际.解：（1）如所示表示船速表示水速以作表示船航行的速度例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。23(2)||2,||23RtABCABBC解：在中，2222||||||2(23)4ACABBC23tan32CAB60.CAB答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。ADBC（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考：如设,,xyRxy()xy实数的相反数记作。aa如何定义向量的减法运算呢？向量的减法运算及其几何意义回顾：一、相反向量：规定：设向量，我们把与长度相同，方向相反aa的向量叫做的相反向量。a（1）()a（3）设互为相反向量，那么,ab,,0abbaab2.2.2向量的减法运算及其几何意义记作：a的相反向量仍是。00二、向量的减法：()abab（2）()aa()aaa00BACab设,ABbACaDEb()AEab又bBCa所以BCabababab你能利用我们学过的向量的加法法则作出吗？()ab不借助向量的加法法则你能直接作出吗？ab三、几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量baba（1）如果从的终点指向终点作向量，所得向量是什么呢？ab（2）当，共线时，怎样作呢？ababABOABOaOAbOBabBA注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。ba一般地abBabbAO（三角形法则）a练习：(1)ABAD(3)BCBA(2)BABC(4)ODOA(5)OAOBDBCAACADBA三、几何意义注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。一般地abBabbAO可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量baba练习：(1)ABAD(3)BCBA(2)BABC(4)ODOA(6)AOBO(5)OAOBDBCAACADABBA已知向量，求作向量，。ab例3,,,abcdcdabcdOBACDabdc作法：在平面内任取一点O，,OAa,OBb,OCc,ODd则BAabDCcd作注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。abcd练习：ab已知向量，求作向量。ab,ab（1）（2）ab（3）（4）abbaabababab例4在ABCD中，,ABa,ADb你能用表示吗？,ACDBDBACabACabDBab,ab变式一本例中，当满足什么条件时，与互相垂直？,abababab变式二本例中，当满足什么条件时，,ab?ababab与互相垂直巩固练习：1、在中，，，则ABCBCaCAbABabbcab2、如图，用表示下列向量：abc，，DBACEabcgfde(1)eg(2)fd(3)dgabcBACab)+=+++=++abba(ab)ca(bc向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（起点相同，由减向量的终点指向被减向量的终点）。