02-第二章序列的Z变换与傅里叶变换-共65页PPT文档

1本章目录序列的Z变换序列的傅里叶变换序列的Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系Matlab实现22.1引言信号与系统的分析方法:时域分析变换域分析连续时间信号与系统信号用时间t的函数表示系统用微分方程描述离散时间信号与系统信号用序列表示系统用差分方程描述3时域与频域分析傅里叶变换时间域频率域(复频域)拉普拉斯变换推广傅里叶变换时间域频率域(复频域)Z变换推广连续时间信号与系统离散时间信号与系统4本章主要内容序列的Z变换Z变换的主要性质序列的傅里叶变换傅里叶变换的主要性质52.2序列的Z变换Z变换及其收敛域的定义几种序列的Z变换及其收敛域逆Z变换Z变换的性质和定理利用Z变换求解差分方程62.2.1Z变换及其收敛域的定义序列的Z变换定义双边Z变换()[()]()(2.1)nnXzxnxnz单边Z变换110()[()]()(2.2)nnXzxnxnz因果序列的Z变换:单边Z变换可以看成因果序列情况下的双边Z变换7Z平面与单位圆变量z的极坐标形式Z平面:Z变换定义式中z所在的复平面，z是一个连续复变量，具有实部和虚部单位圆:在Z平面上|z|=1为半径的圆单位圆上的参数可表示为j||ezzjez8例:求序列的Z变换例2.1求序列的Z变换。()()nxnaun解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义10011213()()()1()()nnnnnnnXzxnzazazazazaz分析收敛性：X(z)是无穷项幂级数。1101()(),||||1nnzXzazzaazza＞X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为当|z|≤a时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。9Z变换的收敛域根据级数理论，式(2.1)收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件，即收敛域:对于给定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域。根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域|()|nnxnz＜收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域102.2.2几种序列的Z变换及其收敛域序列x(n)的性质决定了X(z)的收敛域，不同形式的序列其收敛域不同。有限长序列：0≤|z|＜+∞或0＜|z|≤+∞右边序列：Rx-＜|z|＜+∞左边序列：0＜|z|＜Rx+双边序列：Rx-＜|z|＜Rx+11有限长序列有限长序列只在有限区间n1≤n≤n2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零Z变换21()()nnnnXzxnz要求：在有限区间内级数的每一项都有界，则有限项的和有界，级数就收敛。|()nxnz|＜+||nz＜+||z0＜＜+x(n)有界开域边界讨论：z=0及z=∞两点是否也收敛与n1、n2取值情况有关。（具体见教材p40与例题）12例：求有限长序列的Z变换例2.2求序列的Z变换。讨论：假设|a|是有限值，且|a|＜1。X(z)有一个z=a的极点，但也有一个z=a的零点，将零极点对消。收敛域为0＜|z|≤+∞。解：根据Z变换的定义11111001()()()1NNNnnnnnazXzazazaz()()nNxnaRn13右边序列右边序列只在有限区间n≥n1内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零Z变换1()()(2.5)nnnXzxnz假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z1|上绝对收敛11|()|nnnxnz＜14右边序列（因果）的收敛域假设：z是圆外任意一点，即|z|＞|z1|当n1≥0时，序列为因果序列111()|()||()|nnnnnnXzxnzxnz＜＜显然，级数X(z)收敛。讨论：级数X(z)中没有正幂项，|z|=+∞时级数收敛，因此收敛域包括∞点，即为Rx-＜|z|≤+∞15右边序列（非因果）的收敛域当n1＜0时，序列为非因果序列111012()|()||()||()|()()nnnnnnnnXzxnzxnzxnzXzXz显然，当z取有限值时，级数X1(z)的值有限，而级数X2(z)收敛。所以，级数X(z)的收敛域是以Rx-为半径的圆的外部区域，即Rx-＜|z|＜+∞16左边序列左边序列只在有限区间n≤n2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零Z变换2()()(2.6)nnnXzxnz假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z2|上绝对收敛22|()|nnnxnz＜17左边序列（逆因果）的收敛域假设：z是圆内任意一点，即|z|＜|z2|当n2≤0时，序列为逆因果序列222|()||()|nnnnnnxnzxnz＜＜显然，级数X(z)收敛。讨论：级数X(z)中没有负幂项，|z|=0时级数收敛，因此收敛域包括0点，即为0≤|z|＜Rx+18左边序列（非因果）的收敛域当n2＞0时，序列为非因果序列221012()|()||()||()|()()nnnnnnnnXzxnzxnzxnzXzXz显然，当z取0外的有限值时，级数X2(z)的值有限，而级数X1(z)收敛。所以，级数X(z)的收敛域是以Rx+为半径的圆的内部区域，即0＜|z|＜Rx+19例：求左边序列的Z变换例2.3求序列的Z变换。解：讨论：当|az|＜1，即|z|＜1/|a|时，级数收敛。X(z)可用封闭形式表示X(z)有一个z=1/a的极点，但也有一个z=0的零点。1122()()(1)nnnnnXzazazazazaz()(1)nxnaun(),||1/||1azXzzaaz＜20双边序列双边序列指n从-∞到+∞都具有非零的有限值，可看成右边序列和左边序列的和Z变换1210()()()()()()(2.7)nnnnnnXzxnzXzXzxnzxnz讨论：X1(z)收敛域为0＜|z|＜Rx+；X2(z)收敛域为Rx-＜|z|＜+∞。双边序列Z变换的收敛域是公共部分。如果满足Rx-Rx+，则X(z)的收敛域为环状区域，即Rx-＜|z|＜Rx+；如果满足Rx-≥Rx+，则X(z)无收敛域。21例：求双边序列的Z变换例2.4己知序列讨论：极点为z1=a和z2=b零点为z1=0和z2=(a+b)/2收敛域为环域a＜|z|＜b解：10()()(2)()()nnnnnnnnXzxnzbzazzzzzabzazbzazb,0(),0nnanxnbn≥＜如果0＜a＜b，求其Z变换及其收敛域。222.2.3逆Z变换逆Z变换:由X(z)及其收敛域求序列x(n)的变换。求逆Z变换的方法:幂级数法(长除法)部分分式展开法围线积分法。23幂级数法(长除法)1012()()(1)(0)(1)(2)(2.8)nnXzxnzxzxzxzxzZ变换的定义可知:X(z)是复变量z-1的幂级数，其系数是序列x(n)的值显见:只要在给定的收敛域内，把X(z)展开成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)X(z)展开成幂级数的方法:log，sin，cos等函数:利用幂级数公式有理分式:直接用长除法24例：幂级数法求逆Z变换例2.5求，|a|＜|z|的逆Z变换。展开X(z)得解：利用ln(1+x)，且|x|＜1的幂级数公式1()ln(1)Xzaz1123111(1)(1)ln(1)(11)23nnnnnxxxxxxxnn＜≤111(1)()ln(1)nnnnXzazazn1(1)()()nnxnaunn由收敛域|a|＜|z|知x(n)为右边序列注:X(z)的闭合形式加上收敛域，才能唯一确定x(n)。25长除法:展开有理分式X(z)使用前判定对应x(n)类型:由收敛域确定右边序列(或因果序列)左边序列(或逆因果序列)。根据x(n)类型展开X(z)右边序列:X(z)展成负幂级数，分子分母应按z的降幂排列左边序列:X(z)展成正幂级数，分子分母应按z的升幂排列。26例：长除法--X(z)降幂排列例2.6求，|z|＞3的逆Z变换。解：收敛域是圆外部，对应右边序列。当z→∞时，X(z)趋近于有限值0，说明收敛域包括∞点，因此是因果序列。把X(z)的分子分母按z的降幂排列1123()(13)zXzz1123()169zXzzz12233440()032333433nnnXzzzzznz长除运算，得由此得到()3()nxnnun27例：长除法--X(z)升幂排列例2.7求，|z|＜3的逆Z变换。解：收敛域是圆内部，对应左边序列。当z=0时，X(z)趋近于有限值0，说明收敛域包括0点，因此是逆因果序列。把X(z)的分子分母按z的升幂排列1123()(13)zXzz1213()961zXzzz12341214()()339981nnnXzzzzznz长除运算，得由此得到()3(1)nxnnun28部分分式展开法10011001(1)()()(2.9)()(1)MMkkkkkNNkkkkkbczbzPzXzQzazadz方法：如果有理分式X(z)是两个实系数多项式P(z)和Q(z)的比，展开成部分分式，求各简单分式的逆Z变换，再相加得到x(n)。式中，ck是X(z)的非零零点，dk是X(z)的非零极点P(z)和Q(z)的阶次分别为M和N。29部分分式系数的计算当M＜N且X(z)只有一阶极点时，则11()(2.10)1NkkkAXzdz由留数定理1(1)()|(2.11)kkkzdAdzXz当M≥N且X(z)除有一阶极点外，在z=di处还具有s阶极点，则11011()(2.12)1(1)MNNssrkmrmrkmkiAcXzBzdzdz式中，Br用长除法得到，系数cm由式(2.13)得到11011()(2.13)1(1)MNNssrkmrmrkmkiAcXzBzdzdz30例：部分分式法求逆Z变换例2.８用部分分式法求逆Z变换。求得系数为解：收敛域为圆外，右边序列。z→∞时，X(z)趋近于有限值1，确定是因果序列。X(z)有两个一阶极点：z1=2和z2=0.5111(),||2(12)(10.5)Xzzzz＞1211()1210.5AAXzzz11211120.51114(12)|(12)(10.5)311(10.5)|(12)(10.5)3zzAzzzAzzz41()[20.5]()33nnxnun查表2.1可得312.2.4Z变换的性质和定理１．线性：满足叠加原理Z[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z)，R-＜|z|＜R+(2.20)例2.12求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的Z变换。由于出现零极点抵消，收敛域增大了。由于x(n)是n≥0的有限长序列，收敛域是除|z|=0之外的全部z平面。Z[()],11zunzz＞3213Z[(3)],111nnzzunzzzz＞222()Z[()]Z[(3)]111Xzxnxnzzzzzzz32Z变换性质