经典习题平面法向量求法及应用

1平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量(,,1)nxy[或(,1,)nxz，或(1,,)nyz]，在平面内任找两个不共线的向量,ab。由n，得0na且0nb，由此得到关于,xy的方程组，解此方程组即可得到n。方法二：任何一个zyx,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是zyx,,的一次方程。0DCzByAx)0,,(不同时为CBA，称为平面的一般方程。其法向量),,(CBAn;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321cPbPaP,如图所示,则平面方程为:1czbyax,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三(外积法):设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ba为一长度等于sin||||ba，（θ为,两者交角，且0），而与,皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为ba的方向,abba。:),,,(),,,(222111则设zyxbzyxa21yyba,21zz21xx,21zz21xx21yy（注：1、二阶行列式:caMcbaddb；2、适合右手定则。）例1、已知，)1,2,1(),0,1,2(ba，试求（1）：;ba（2）：.abKey:(1))5,2,1(ba;)5,2,1()2(ab例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，求平面AEF的一个法向量n。二、平面法向量的应用1、求空间角(1)、求线面角：如图2-1，设n是平面的法向量，图1-1C1CByFADxA1D1zB1E)2,2,1(:AEAFnkey法向量ABα图2-1-2Cn图2-1-1αBnAC2AB是平面的一条斜线，A，则AB与平面所成的角为：图2-1-1:.||||arccos2,2ABnABnABn图2-1-2:2||||arccos2,ABnABnABn(2)、求面面角:设向量m，n分别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：||||arccos,nmnmnm（图2-2）;||||arccos,nmnmnm(图2-3)两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图2-3中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。2、求空间距离（1）、异面直线之间距离:方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为||||nnABd,其中bBaAbnan,,,图2-4nabABβαm图2-2nmα图2-3nβ图2-5nAαMBNO|,cos|sinABn3（2）、点到平面的距离:方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A为平面α内任一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式为||||nnABd（3）、直线与平面间的距离:方法指导：如图2-6,直线a与平面之间的距离：||ABndn，其中aBA,。n是平面的法向量（4）、平面与平面间的距离:方法指导：如图2-7,两平行平面,之间的距离：||||nnABd，其中,AB。n是平面、的法向量。3、证明（1）、证明线面垂直：在图2-8中,m向是平面的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（am）。（2）、证明线面平行：在图2-9中,m向是平面的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0am）。（3）、证明面面垂直：在图2-10中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（0nm）（4）、证明面面平行：在图2-11中,m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（nm）。三、高考真题新解1、（2005全国I，18）（本大题满分12分）已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，PADAB,90底面ABCD，且PA=AD=DC=21AB=1，M是PB的中点奎屯王新敞新疆（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；图2-11αmβn图2-10βαmn图2-9αmaa图2-8αama图2-7αβABnnAaBαn图2-6图3-1CDMAPB4（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小奎屯王新敞新疆解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.)1,0,0().(API，)0,0,1(AD，设平面PAD的法向量为)0,1,0(ADAPm)0,1,0(DC又，)1,0,1(DP，设平面PCD的法向量为)1,0,1(DPDCn0nm，nm，即平面PAD平面PCD。).(II)0,1,1(AC，)1,2,0(PB，510arccos||||arccos,PBACPBACPBAC).(III)21,0,1(CM，)0,1,1(CA，设平在AMC的法向量为)1,21,21(CACMm.又)0,1,1(CB,设平面PCD的法向量为)1,21,21(CBCMn.)32arccos(||||arccos,nmnmnm.面AMC与面BMC所成二面角的大小为)32arccos(.]32arccos[或2、(2006年云南省第一次统测19题)(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC＝2a，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.).(I)0,0,2(aBC,),,0(1aaBA,设平面A1BC的法向量为)2,2,0(221aaBABCn又)0,0,2(aAD,0ADn,nAD,即AD//平面A1BC.).(II),0,22(aaMC,)0,,22(1aaMA,设平面A1MC的法向量为:)22,22,(2221aaaMAMCm,图3-25又),,2(1aaaBD,),,0(1aaBA,设平面A1BD1的法向量为:)2,2,0(2211aaBABDn,0nm,nm,即平面A1MC平面A1BD1.).(III设点A到平面A1MC的距离为d,)22,22,(2221aaaMAMCm是平面A1MC的法向量,又)0,0,22(aMA,A点到平面A1MC的距离为:amMAmd21||||.四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）