抛物线的几何性质

葡萄美酒夜光杯,欲饮琵琶马上催.如果测量得酒杯杯口宽4cm，杯深8cm，试求出该抛物线方程？4cm8cm引入复习4cm8cm解：如图建立平面直角坐标系,则可知A(-2,8),B(2,8)所以设抛物线的方程为：A、B点在抛物线上，代入抛物线方程，可得P=,则所求的抛物线方程为：)0(22ppyx41.212yx前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?复习：图形方程焦点准线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px2px2py2py)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pFy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）抛物线的简单几何性质yox)0,2(pFP(x,y)一、抛物线的几何性质(1)、：由方程y2=2px（p0）而，p020y由方程可知x0,所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。范围(2)、yox)0,2(pFP(x,y)由方程y2=2px（p0）以代y,上述方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。y对称性顶点（3）定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2=2px（p0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。离心率(4)、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。二、归纳：抛物线的几何性质方程焦点准线图形对称轴)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0,(2pF)0,(2pF),0(2pF),0(2pF2px2px2py2pyx轴x轴y轴y轴yx)0,2(pFP(x,y)oyox)2,0(pFP(x,y)xyoP(x,y))2,0(pF(,0)2pFyxoP(x,y)新知学习xyO标准方程中2p的几何意义FABy2=2px利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图2p越大，抛物线张口越大思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？三、注意：(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心；(3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线；(4)抛物线的离心率是确定的,为1。(5)抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）方程焦点准线开口方向xy62yx420722yx)0,(23F)0,1(F)1,0(F),0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下例1：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（），求它的标准方程，并用描点法画出图形。解：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（），2,222,222,2224yx作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234…y…(2)描点：022.83.54(3)连线：11xyO例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。AB设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得230240p22(0)ypxp454p所求的标准方程为焦点坐标为2452yx45(,0)8练习：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为。24yx16483练习：如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线，宽为7m，高为0.7m,求这条抛物线的方程。yxO7AB0.7解：由题设可设抛物线的方程为：x2=2py（p0）易知A（-3.5,0.7)，将其代入抛物线方程，得：（-3.5)2=2p0.72P=17.5抛物线的方程为：x2=17.5y本节主要内容包括：1、抛物线的概念；2、抛物线的标准方程、图像；3、抛物线的性质；4、抛物线的基本元素.作业：P1231（2）、2、3、4