简单计数问题

组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.知识回顾[例1]用0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()A．24个B．30个C．40个D．60个[思路点拨]解答本题明确特殊元素0不能排首位，而特殊位置个位只能排偶数．[精解详析]因组成的三位数为偶数，个位的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在个位和0不排在个位分为两类：①当0排在个位时，有A24个；②当0不排在个位时，三位偶数有A12A13A13个．由分类加法计数原理，其中偶数共有A24＋A12A13A13＝30个．[答案]B[反思]：1．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：第一步先从剩余4人中选一个人去巴黎游览共有4种方法；第二步从剩余5人中选3人去另外三个城市有A35种方法．由分步乘法计数原理，共有4×A35＝240种不同选择方案．答案：B2．有一辆客车和三辆货车同时去某地，客车不在车队的首位，则这个车队有________种不同的排法．解析：先把特殊元素“客车”排在不是首位的其他三个位置上，有A13种排法，再把货车排在余下的三个位置上，有A33种排法，由分步乘法计数原理，共有不同排法A13A33＝18种．答案：18[例2]从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有()A．120种B．480种C．720种D．840种[精解详析]先将“qu”看成一个元素，再从剩余的6个元素中取出3个元素，共有C36种不同取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A44种方法，由于“qu”顺序不变，根据分步乘法计数原理共有C36A44＝480种不同排列．[答案]B3．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!解析：利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为A33(A33)3＝(3！)4.答案：C[例3]要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人不相邻且不排在两端，不同的排法共有()A．1440种B．960种C．720种D．480种[思路点拨]先排五名志愿者，两位老人插空．[精解详析]5名志愿者的排法有A55种，2位老人不相邻且不排在两端，采用插空，中间四个空，有A24种，由分步乘法计数原理共有A55A24＝1440种．[答案]A[反思]对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入．4．3名男同学，3名女同学站在一排，男女间隔的排法种数为()A．A33A33B．2A33A33C．A33A34D．2A33A34解析：先将3名男同学排列，有A33种方法，再从3名男同学形成的4个空隙中选相邻的3个空隙，有2种选法，最后将3名女同学排在选取的3个空隙中，有A33种排法，由分步乘法计数原理，男女间隔的排法数为A33·2·A33.答案：B5．在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点亮方式增强舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式有()A．28种B．84种C．180种D．360种解析：关掉6只灯后还亮9只灯，9只灯之间的8个空可以看成有6个是关灯后得到的，因此关灯方式有C68＝28种．答案：A[例4]由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有()A．210个B．300个C．464个D．600个[精解详析]若不考虑附加条件，组成的六位数共有A15A55个，而其中个位数字与十位数字的A22种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共有A15A55÷A22＝300个．[答案]B[一点通]对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数．6．把A，B，C，D，E排成一排，要求字母A排在字母B的右边(可相邻也可以不相邻)，不同的排法有________种．解析：A，B，C，D，E排成一排有A55种方法．∵A，B两个字母的顺序固定，∴不同的排法有A55A22＝12A55＝60种．答案：607．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是________．解析：(1)法一：5面旗全排列有A55种挂法，由于3面红旗与2面白旗分别全排列只能算一次挂法，故共有不同的信号总数是A55A33A22＝10种．法二：定序问题属组合．五面旗占五个位置，从中选取两个位置挂白旗，其余位置则挂红旗，有C25＝10种方法．答案：10练习：4个男生3个女生排成一排，要求女生从左到右按照身高由高到低的次序，共有多少种不同的排法？解法一：47A3377AA解法二：[例5]6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本．[思路点拨](1)是平均分配问题，可以理解为一个人一个人地来取．(2)是“均匀分组问题”．（分堆问题）[精解详析](1)分3步完成：甲取2本，有C26种方法，乙再取2本，有C24种方法，剩余的2本分给丙，有C22种方法，根据分步乘法计数原理，得C26C24C22＝90种．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A33种方法．根据分步乘法计数原理可得C26C24C22＝xA33，所以x＝C26C24C22A33＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．练习：7个人分成三组，一组3人，其余两组各2人，共有多少种不同的分法？（2010全国卷）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种【答案】B【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法共有种种方法，13C222224AAC1822222413AACC[一点通](1)解决此类问题要分清是分组问题还是分配问题．(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相同；②部分均匀分组，应注意不要重复，有m组均匀，最后必须除以m！如“1,1,4型”中方法的种数应为C46C12C11A22·A33；③完全非均匀分组，不用考虑重复现象．(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．8．在本例5条件下，求解：(1)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(2)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本．解：(1)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C33＝60种方法．(2)在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360种方法.[例6]现有4封不同的信，4个不同的邮箱，把信全部投入邮箱内：(1)共有几种投法？(2)恰有1个空邮箱，有几种投放方法？(3)恰有2个空邮箱，有几种投法？（投信问题）[精解详析](1)44＝256(种)．(2分)(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种不同的放法．根据分步乘法计数原理，共有C24A34＝144(种)不同的放法．(5分)封信封信封信邮箱邮箱84)(22222224331424AACCCCC（3）[例6]现有4封不同的信，4个不同的邮箱，把信全部投入邮箱内：(3)恰有2个空邮箱，有几种投法？[一点通](1)解排列组合的综合问题，首先要认真审题，把握问题的实质，分清是排列还是组合问题，再注意结合分类与分步两个原理，要按元素的性质确立分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序．(2)解排列组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．9．4种不同的种子，选出3种种在三块不同的地上，每一块地只能种一种，则不同的种法有()A．C34A33种B．C23A33种C．C34A13种D．A34A13种解析：分两步完成：第一步，选种子，有C34种选法；第二步，种地，有A33种种法，共有C34A33种不同种法．答案：A10．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从2,4,6,8中任取3个数字，一共可以组成________个没有重复数字的五位数．解析：先从1,3,5,7,9五个数字中选2个，即C25，再从2,4,6,8四个数字中选3个，即C34.再对这5个数字排列，共有C25C34A55＝4800.答案：4800七次品分类挑选例7.在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(1)无任何限制条件；(2)全是正品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(1)无任何限制条件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；解答：5100C（1）597C（2）23973CC（3）5510097CC（4）413223973973973CCCCCC，或（5）504132973973973CCCCCC23973CC（6）(5)至多有2件次品；(6)次品最多.(1)无任何限制条件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；11.在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(2)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?122989506;CC12299CC②1221298298CCCC①3310098CC八贺卡列举法[例8]三个学生各写一张贺卡，写后混合在一起，然后各拿一张，三个学生都不拿自己的贺卡有几种拿法？如果4个学生呢？12．如图所示，把1、2、3放入每个格中，使得每行、每列没有重复的数字，共有多少种不同的放法.八贺卡小结设n个人写贺卡,表示不同的拿法：nT3))(1(21nTTnTnnn1．解决排列组合综合问题，应遵循三大原则：先特殊后一般，先分组后排列，先分类后分步的原则．充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步，寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题．2．求解排列与组合问题的一般步骤(1)把具体问题化归为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用两个计数原理；(3)分析题目条件，避免重复或遗漏；(4)列出式子，准确计算．