经济数学第四章导数的应用

第四章导数的应用§4.1中值定理(一)§4.1函数的单调性（二）§4.2罗必达法则§4.3函数的极值与最值§4.4曲线的凹性与拐点§4.4函数作图的基本步骤与方法§4.5导数在经济中的应用()()'()fbfafba第四章导数的应用导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本定理作为桥梁.微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理§4.1中值定理定理1(罗尔定理)设函数ƒ(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)ƒ(a)=ƒ(b);一.罗尔(Rolle)定理()0.f则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得boxABy=f(x)ay罗尔定理的几何意义:函数ƒ(x)在[a,b]上的图形是连续曲线弧AB,如果除端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,且在闭区间[a,b]的两个端点a与b处的纵坐标相同,即ƒ(a)=ƒ(b);此时弦显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取得,由此启发了我们的证明思路.AB平行于x轴;则在弧AB上至少能找到一点C((ξ)),使曲线在点C处的切线平行于弦AB,即平行于x轴,从而该点C处的切线斜率为()0.fboxABy=f(x)ay12证因ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续,故由定理知:ƒ(x)在[a,b]上必有最大值M和最小值m.下面分两种情形讨论:(1)若M=m,则ƒ(x)在[a,b]上恒为常数.从而(,),()0.xabfx恒有oyxy=M故在(a,b)内的每一点都可取作ξ.定理显然成立.(2)若,而ƒ(a)=ƒ(b)Mm(),Mfa()0.f()()0((,))fxfxab()()0(1)fxfx()()0(2)fxfx从而在区间(a,b)内至少存在一点ξ.使得ƒ(ξ)=M则数M与m中至少有一个不等于端点的数值,不妨设下面证明因ƒ(ξ)=M,则不论Δx0或Δx0,恒有当Δx0时,有当Δx0时,有而ƒ(x)在(a,b)内可导,则().f存在0()()()()lim0xfxfffx0()()()()lim0xfxfffx故必有()0.f则对式(1)和式(2)取极限有()()()().ffff且存在注1.罗尔定理中的三个条件是充分条件,缺一不可.否则结论不一定成立.(一般地说结论正确就需证明;否则,只须举反例即可)用下列各图形分别说明:oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)°°ξξ()()fafbƒ(x)在[a,b]内有间断点ξƒ(x)在(a,b)内有不可导点ξ(尖点)注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如3sin04()35cos44xxfxxx2此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在和ξ=π,使oxy=f(x)y°•π2()()0.2ff例1.验证函数在区间[–1,2]上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的ξ值.32()4710fxxxx注3.罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在一个ξ,而不能肯定ξ的个数,也没有指出实际计算ξ的值的方法.但对某些简单情形,可从方程中解出ξ.解因ƒ(x)是一初等函数,其定义域为(,).则ƒ(x)在[–1,2]上连续,在(–1,2)内存在,即ƒ(x)在(–1,2）可导.2'()387fxxx()0fx4373则满足题意的点为4373x23870xx而ƒ(–1)=ƒ(2)=0.即ƒ(x)在[–1,2]上满足罗尔定理的条件.由4373而舍去例2.不求函数ƒ(x)=(x–1)(x–2)(x–3)x的导数,说明方程有几个实根?并指出它们所在区间.()[0,1],()[1,2],()[2,3];fxCfxCfxC解()0fx()(0,1),()(1,2),()(2,3)fxDfxDfxD(0)(1)(2)(3)ffff且123()0,,;fx故方程有三个不相等的根123(0,1),(1,2),(2,3).且13分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.例3.设ƒ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且ƒ(a)=ƒ(b)=0.试证:在(a,b)内至少存在一点ξ()()ff()()xFxfxe令()()0ff于是显然罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有证则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,即满足罗尔定理的条件.则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得()[()()]0((,b))Fffea()()((,b))ffa故二.拉格朗日(Lagrange)中值定理定理2拉格朗日(Lagrange)中值定理)设函数ƒ(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得()()()fbfafbaoxyy=f(x)aAbB12C或也称微分中值定理.()()()()fbfafba几何意义:如果在连续曲线弧AB上,除端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,又因弦AB的斜率为则在弧AB上至少()(),fbfabaDoxyy=f(x)aAbB既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,下面利用分析的方法来构造辅助函数.要证()()()()fbfafba故只须令F(x)=[ƒ(b)–ƒ(a)](x–a)–[ƒ(x)–ƒ(a)](b–a)C能找到一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB.()()()()0fbfafba移项得{[()()]()[()()]()}0xfbfaxafxfaba从而只需验证F(x)满足罗尔定理的条件即可.易验证这个函数的连续性、可导性以及端点条件.D例4.验证函数ƒ(x)=lnx在[1,e]上满足拉格朗日中值定理.若满足求出ξ.解因ƒ(x)在[1,e]上连续,在(1,e)内可导.即ƒ(x)在[1,e]上满足拉格朗日中值定理.而1()fxx1lnln1(1)xeex则由拉格朗日中值公式有11(1)1.ee推论1.(,),()0xabfx(,),().xabfxC几何意义：斜率处处为0的曲线,一定是平行于x轴的直线.推论2.(,),()()xabfxgx(,),()().xabfxgxC下面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式.例5.证明22sincos1(R)xxx证22()sincosfxxx令()2sincos2cos(sin)0fxxxxx()((,))fxCxab22sincos1xx220,(0)sin0cos01xfC特殊地取有例6.证明不等式ln(0)babbaabbaa分析:因0ab,从而b–a不为0,即只须证1lnln1babbaa是函数值之差,可以考虑用拉格朗日中值定理lnlnbaba解令ƒ(x)=lnx因ƒ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.即ƒ(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理.从而1lnln()()()((,))bafbabaab另一方面111balnlnlnbabbababaa显然,利用拉格朗日中值定理证明等式的关键是:(),fxC00,().xfxC由算出()()()().()fbfafbaab()f例7.当x1时,证明不等式.xeex最后特殊取点(2)根据不等式的特点选取适当的函数ƒ(x)及对应区间[a,b],使其满足定理的条件,便有再根据aξb放大或缩小导数证出不等式.解令()([1,))xfxex1(1)((1,)1)xeeexx即()[1,),()(1,)fxCfxD(1).xxeeeeexeex(1)根据等式特点选取适当的函数ƒ(x).先证()0,fx再证1.(第一章)单调增加(或减少)函数的几何解释:对应曲线是上升或下降的.§4.1函数的单调性(二)单调性是函数的重要性态之一,也是本章主要内容.它既决定着函数递增和递减的状况,又有助于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描绘函数的图形等.一.函数的单调性2x1()fx2()fxy=ƒ(x)oxxyyo1x1x2x1()fx2()fxy=ƒ(x)用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法.但繁!下面讨论如何用导数来判断函数的单调性.oxxoyy反之,能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?()0(()0fxfx或）从上图可看出:当曲线为上升(或下降)时,其上各点切线与x轴正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率tanα是非负(或非正)的.根据导数的几何意义知函数ƒ(x)单调增加(或减少)时,总有可见函数的单调性与导数的符号有关.定理.(函数单调性的判定方法)设y=ƒ(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导.有(,),xab(1)()0()(,)fxfxab若，则在区间内单调增加(2)()0()(,)fxfxab若，则在区间内单调递减即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调.1212,(,),,xxabxx1212()[,](,)fxxxxx由已知在上连续,在可导211221()()()((,))fxfxfxxxx其中根据拉格朗日中值定理,有2121()()()0()00fxfxfxfxx当时，有从而21()()fxfx12,(),.xxfxab故由的任意性,在()内单增证262121()()()0()00fxfxfxfxx当时，有从而12,(),.xxfxab故由的任意性,在()内单减例()xfxe()0(,)(,).xxfxee在内单增21()(),fxfx()xfxe()0(,)(,).xxfxee在内单减注1.研究函数的单调性,就是判断它在哪些区间内递增,哪些区间内递减.由定理1对可导函数的单调性,可根据导数的正负情况予以确定.2.定理7的结论对无穷区间也成立.oxy3yx3.如果函数的导数仅在个别点处为0,而在其余的点处均满足定理1,则定理1仍成立.如323()()20((0)0)(,)yfxxfxxfyx也有但在增4.此定理可完善为充要条件.即若ƒ(x)在(a,b)内可导且单调增加(或减少),则ƒ(x)在(a,b)内必有()0(()0).fxfx或5.有些函数在它的定义区间上不是单调的.如20,[0,)()()20,(,0)xyfxxfxxx但它在部分区间上单调,那么怎么来求它的单调区间呢?ox2yxy28观察下面的图形,你能得出什么结论？)(不存在的点也可作为使得函数的导数xf.函数单调性的分界点确定某个函数y=ƒ(x)的单调性的一般步骤是:(1)确定函数定义域;(2)求出的点,以这些点为分界点划分定义域为多个子区间;()0()fxfx及不存在(3)确定在各子区间内的符号,从而定出ƒ(x)在各子区间的单调性.()fx例求函数的单调区间.32()29123fxxxx(,)12()01,2fxxx由有x1(1,2)2+–+ƒ(x)(,1)(2,)()fx列表讨论如下:2()68126(1)(2)fxxxxx(,)(,1],[1,2],[2,)