28.2.2应用举例(1)

28.2.2应用举例（第1课时）人教版九年级数学(下册)第二十八章锐角三角函数学习目标1．会把实际问题转化为解直角三角形问题，提高数学建模能力；2.会把实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养分析问题、解决问题的能力．目标导学：1、解直角三角形指什么？2、解直角三角形主要依据什么？222(1);abc三边之间的关系　　　　　　　　　(2)90;AB两个锐角之间的关系　　　　　　　　　　在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个未知元素的过程。（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°（3）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系222cbaABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：sinA=a/c=cosBsinB=b/c=cosAtanA=a/b=cotBtanB=b/a=cotA2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果保留整数）？·OQFPα想一想：（1）你能根据题意，画出示意图吗？（2）地球是圆形的，从组合体中直接看到地球表面的最远点，实际上就是什么？（视线与地球相切时的切点）（3）要求最远点Q与P点的距离,实际上就是求什么？PQ(的长）（4）弧长的计算公式是怎样的？要求弧长应该具备哪些条件？（.应具备n、R两个条件）（5）怎样求圆心角n呢？（构造直角三角形，用锐角三角函数求圆心角n）自主探究：解：在右图中，设∠POQ＝α，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2051km.·OQFPα∴PQ的长为：⌒2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果保留整数）？分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点．的长就是地面上P、Q两点间的距离，为计算的长需先求出∠POQ（即a）的度数.PQ⌒PQ⌒自主探究新课讲授仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？ABCDαβ仰角水平线俯角视线在水平线下方的角叫做俯角.测量时，视线与水平线所成的角中，铅直线视线视线水平线仰角俯角视线在水平线上方的角叫做仰角；理解：仰角和俯角合作交流：分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°在Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地，在Rt△ACD中，β=60°，AD＝120，可以利用解直角三角形的知识求出CD；最后，求出BC．ABCDαβ热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？想一想：（1）你能根据题意，画出几何图形吗？（2）在右图中，已知什么？求什么？（3）怎样求BC的长呢？其依据是什么？120m合作交流：解：如图，α=30°,β=60°，AD＝120．答：这栋楼高约为277m.ABCDαβ120m热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？合作交流：在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB？解：根据题意，得AB⊥BC，∴∠ABC＝90°∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD∴BC＝CD＋BD＝20＋AB在Rt△ABC中，∠C＝30°BCABCtan30tan3320ABAB10310ABAB10310答：山高为＋米.教师指导：ABCD利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形,构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题；2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.归纳小结1、建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角60°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度.ABCD40m50°45°ABCD40m50°45°解：在等腰三角形BCD中，∠ACD=90°，BC=DC=40m在Rt△ACD中，所以AB=AC－BC=40－40答：棋杆的高度为40－40m.DCACADCtan∴AC＝40×tan60°=40（m)又∵BC＝DC当堂检测：3333.如图2，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看到地面指挥台B的俯角α=16°31′，则飞机A与指挥台B的距离为.(结果取整数)图12.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°1003(50)3C图2αABC12004221m当堂检测：4.如图1，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（保留根号）．100(31)m5.如图2，从热汽球C处测得地面A，B两地的俯角分别为30°和45°，如果此时热汽球C处的高度CD为100m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点的距离是（）A、200mB、200mC、220mD、100（＋1）m333图1图2BDAC30°45°D当堂检测：6、如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°.求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）235E解：作CE⊥AB，交线段AB的延长线于E.由题意知：AB＝1464，∠EAC＝30°，∠CBE＝45°.在Rt△ACE中，tan30°＝331464xxAECExx3314643整理得：mx200013732）（解得：∴点C深度约为2000＋600＝2600米.设CE＝x米，则BE＝x米.练习一.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形,构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形；2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数去解直角三角形：有“斜”用“弦”;无“斜”用“切”；3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.归纳小结4.如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．二.解题方法归纳：1．数形结合思想；2．方程思想；3.把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.作业布置：课堂作业：P93---95