计量经济学第二章统计学基础

第二章统计学基础知识（一）1、算术平均nXnXXXXn.....212、加权算术平均是将数据先乘以反映其重要性的权数w，在求平均的方法。例题1：表1是对关东1都6县女性临时工的小时工资与劳动者人数的调查结果。（1），求小时工资的算术平均数(2)，求加权算术平均nnn小时工资（日元）劳动者人数（千人）茨城83760栃木80933..80736..851152..874113东京993279神奈川8901918667890.....809837X904191....3360191*890....33*80960*837wX3、变化率变化率=例题2：日本在1994年和1995年对中国的出口额分别为18682和21931（百万美元），求日本对中国的出口年增长率。).....,3,2(1111ntXXXXXttttt%4.17174.01868218682-2193119941994199511＝年輸出額年輸出額年輸出額－tttXXX4、几何平均；是n个数据连乘积的n次方根弱点：数据中只要有一个零，根就会变为零无法计算，而且有负值也无法计算。适合于经济增长率，工资上升率等增长率的平均数的计算。例题3：从1991年至1995年的美国的出口增长率分别为6.3，6.6，2.9，8.2，8.9%，求美国的出口平均增长率。nnXXXG.....21%6.69.8*2.8*9.2*6.6*3.65G[提示]跨越数年的平均变化率的计算方法现假设Y从0期到n期，按照同样的变化率g变化，则01)1(Ygy0212)1()1(Ygygy01)1()1(ygygynnn整理，得平均变化率g为0)1(yygnn10nnyyg例题；计算1991-1995年4年间的实际经济增长率。91年449.8亿，95年465亿%8.01008.1954－１＝９１年実質ＧＤＰ年実質ＧＤＰ5、移动平均：对时间序列数据中的前后数据求平均，将不必要的变动（循环变动，季节变动和不规则变动）平滑化，也将剔除这些变动，从而发现长期变化方向的一种方法。奇数移动平均：311ttttXXXX偶数移动平均：2112,,,,tttttXXXXX（1）前4项4112ttttXXXX（2）后4项4211ttttXXXX4年移动平均2)2()1(45.05.02112tttttXXXXX中心化4项移动平均GDP实际增长率3年之和3年移动平均5年之和5年移动平均19807.8----19815.222.17.37--19829.125.28.4048.29.64198310.935.211.7353.910.78198415.239.613.2057.511.5198513.537.512.5060.01219868.833.911.3060.412.08198711.631.710.5749.39.86198811.327.09.0039.67.9219894.119.26.4040.0819903.817.15.7042.68.5219919.227.29.0744.88.96199214.236.912.3053.310.66199313.540.313.4360.012199412.636.612.2060.412.08199510.532.710.9055.01119969.628.99.6349.39.8619978.826.28.7343.88.7619987.823.77.9041.38.2619997.122.97.63--20008.0----180200220240260280300320第3季度1992年第1季度第3季度1993年第1季度第3季度1994年第1季度第3季度1995年第1季度第3季度销售额中心化4项移动平均通过计算中心化4项移动平均，使得原数列变得平滑，也就是消除了季节变动。6、方差与标准差为了了解数据的结构，有必要考察数据的集中趋势和分散的程度。方差是衡量变量的离散性（分散）的，即变量的每个样本与均值的距离大小的概念。方差的计算方法是，先将每个数据与算术平均数之差（即离差）的相加求和，再除以样本数减一。而标准差是方差的正的平方根。标准差与原数据的单位相同，而方差不附加单位。方差：22212)(111)(.....)(XXnnXXXXSin标准差：2Ss方差方差与标准差越大，意味着数据的分散程度越大；相反，方差与标准差越小，则意味着数据的分散程度越小，也既向平均值的集中程度越高。标准差便利的特点，假定数据服从正态分布，一算术平均值为中心，左右各取1s范围，这一部分包含68.3%的数据。2s—95.4%，3s---99.7%。X14家电器公司的销售额中出口额所站的比重比重（X%)公司124-636公司23111公司323-749公司415-15225公司520-10100公司613-17289公司719-11121公司83339公司94414196公司1065351225公司113111公司125020400公司1319-11121公司143339Σ42002782XX2)(XX30420*1411XnX2142782131)(1122XXnS6.14214S7、变动系数变动系数又称变异系数，它用标准差s除以算术平均数的商来表示。变动系数CV的定义如下；对于不同数据组来说，由于各自的算术平均值不同，因此单纯根据各自的标准差，则无法比较分散程度。通过变动系数来对不同数据的分散程度进行比较。例如，再比较不同的数据组A和B的变动系数时，如果A的系数较大，说明A与B相比，数据的分散程度更大。算出的数值要按百分比形式表示。但如果算术平均为零或接近于零，变动系数无法计算。XsCV年・季円马克法郎1991.1140.551.6975.7461991.2138.151.816.1351991.3132.951.6675.6821991.4125.251.5195.191995.4106.481.4755.032X（1），先算3国的和标准差S日本；X=112.62S=15.88德国；X=1.573S=0.1238法国；X=5.381S=0.399（2），求变动系数%1.14141.062.11288.15XSCV日本；CV=7.87%德国；法国；CV=7.43%8、偏度用来反映变量数列分布偏斜程度的指标。可以用平均数，中位数，众数位置关系来大致判断分布是否对称。对称分布的特征是平均数，中位数，众数合而为一，即。0XMMe偏度系数：0M-XSK（-3和3之间）SK是以标准差为度量单位的众数和算术平均值的利差。算术平均值大于众数，分布为右偏态，也成为正偏态。算术平均值小于众数，分布为左偏态，也成为负偏态。9，峰度峰度是用来反映变量数列曲线顶端尖峭或扁平程度的指标。峰度系数为3时成正太曲线。峰度系数大于3时，尖顶曲线。峰度系数小于3时，顶部平滑。还有等于1.8和小于1.8的情况，矩形分布和U形分布。10，标准化变量标准化变量是又称基准化变量，它是用来测量某个数据的数值与算术平均数的偏离程度，是标准差的多少倍。标准变化量Z的定义如下；通过上式进行标准化，不管什么样的数据，算术平均值可以变换为零，方差和标准差变换为1，因此具有不同的算术平均的数据值，可以进行相互比较。SXXz大学入学模拟考试在公布相对成绩时，通常利用偏差值，这种偏差值实际上就是标准化变量的一种应用，公式如下；標準差自己得点－平均分5010501050Z＝標準変化量＝10偏差值设算术平均数为50，标准差为10，来显示分散的分布情况。例题：经济系的小王，在期末考试中，宏观经济学得82分，微观经济学的69分。宏观经济学的平均成绩是72分，标准差是8，微观经济学的平均成绩是61分，标准差5。（1），计算标准化变量Z,并回答小王的宏观和微观成绩哪一个更好。（2），求偏差值解答；（1），宏观经济学25.187282SXXZ微观经济学Z=1.60由于微观经济学的标准化变量比宏观经济学的标准化变量要大，因此，微观经济学处于上等。（2），宏观经济学偏差值5.621025.1501050z微观经济学偏差值=66从偏差值的比较中看出，小王的微观成绩相对来说要好一些。11，相关系数所谓相关系数是用来测量诸如收入和消费，气温和啤酒的消费量等两个变量X,Y之间相互关系的大小和方向（正或负）的关系。通过计算相关系数，可以知道X和Y之间具有多大程度的线性关系。先了解协方差概念，给定两个变量X和Y，这两个变量的协方差定义为；1))((nyyxxSniiXY协方差表示两个变量的相关关系。如果两个变量同方向变动，则协方差为正，反方向变动则为负。如果两个随机变量是独立的，协方差为0。相关系数R的定义如下式；22)()())((YYXXYYXXRiiii11R1R完全正相关0R正相关0R不相关0R负相关1R完全负相关正相关指的是当X增加时，Y也增加；相反，负相关指的是当X增加时，Y减少。在相关关系中，有时有因果关系，有时则没有。所谓因果关系，指的是原因明确的存在，并且由此产生了结果。但是，即使在没有因果关系的情况下，为了看看相关关系的大小，也需要进行相关分析。某地月平均气温和每户平均啤酒消费量012345678905101520253035月平均气温X每户平均啤酒消费量Y12，相关系数的检验计算出来的相关系数在多大程度上值得信赖，需要进行检验。所谓显著水平，指的是很少会发生的概率，这里相当于相关系数为零，也即相当于不相关的概率。例如，计算出来的相关系数的绝对值，如果大于系数表的显著水平为1%的相关系数，那意味着，该相关系数为零的概率，也即不相关的概率，小于1%（我们所作出的结论允许有1%的可能性是错误的），因此存在着显著的相关。显著水平越小，检验越严格。年度86878889909192939495年均汇率X汽车出口量Y168661145631128610........11150210244694379（1），求相关系数R=0.9321（2），自由度=n—2=10-2=8自由度8的显著水平5%和1%的相关系数分别为0.632和0.765。计算出来的相关系数0.9321大于这两个系数，因此，变量之间存在显著相关。13，斯皮尔曼秩相关系数斯皮尔曼秩相关系数考察的不是X和Y两组数据中的数值，而是顺序，借此来测算X和Y之间相关关系的强弱。定义如下；)1()(6122nnYXRS机会日本X美国Y德国Z1.大学教师的介绍1332．亲友的介绍3．招聘广告3425859．中介机构的介绍989（1），日本和美国的斯皮尔曼秩相关系数833.0sR两国的研究者和技术人员的就职方法非常相似。日本和德国的斯皮尔曼秩相关系数483.0sR（2），检验日本和美国的斯皮尔曼秩相关系数，在5%的显著水平上显著相关。日本和德国的斯皮尔曼秩相关系数，两者均不显著相关。14，概率分布(1)，正态分布正态分布是一个连续的，形状为钟形的概率分布。正态分布可以由均值和方差完全描述出来，如果X服从正态分布，记为，密度函数为2),(~2NX222)(21)(xexf（2），分布统计理论证明，标准正态分布的平方服从自由度为1的χ2分布，2212~Z（3），t分布t分布于正态分布密切相关，可以从一个标准正态分布和一个分布得到。设Z服从标准正态分布，W服从自由为n的分布，并且两者相互独立，于是随机变量2nWZt/)2(ˆ222222~ˆ)ˆ(rˆvaˆ)(ˆ2/)2()(ˆ)2/(niitsxxsnsnxxnWZt（4），F分布如果两