结构力学(虚功原理和结构位移计算).

第四章虚功原理和结构位移计算Computationofdisplacementofstructure主要内容§4－2刚体体系虚功原理及其应用§4－3变形体结构位移计算一般公式§4－4荷载作用下的位移计算及举例§4－5图乘法§4－6温度作用时的位移计算§4－7互等定理§4－8小结§4－1结构位移概念§4-1结构位移概念•1、工程结构在荷载作用、温度变化、材料收缩和支座移动等因素下：•结构的形状一般会发生变化-变形(或形变)•结构的截面位置会发生变化-位移(线位移或角位移)(２)为超静定结构的内力分析打下基础．（３）为研究结构动力计算和稳定分析的打基础在结构的制作、架设、养护等过程中，往往需预先知道结构的变形情况，以便采取相应的措施（如图），以消除位移的影响2、结构位移计算的目的(1)验证结构的刚度3、位移产生的原因（1）、结构内力应变结构上各点位置发生变化荷载作用变形（2）、结构非荷载作用温度改变、支座移动、材料涨缩、制造误差位移虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。变形(deformation)－－结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。1）、线位移4、结构位移2）、角位移：3）、位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。上述各种位移统称为“广义位移”。与广义位移相对应的力称为“广义力”。水平线位移：H铅直线位移：V在梁和桁架中，垂直方向位移称为挠度(deflection)在刚架中，结点水平方向位移称为侧移φ在超静定刚架中，荷载作用下，结点不仅有角位移，同时有侧移现象。如图示4）、各种位移举例相对位移Relativedisplacement△CD=△C+△D绝对位移(Absolutedisplacement)一般而言，位移有其产生的原因和所在结构部位和方向。位移用Δ表示.双角标表示第二角标：产生该位移的原因第一角标：位移的地点和方向ijPjABΔijΔij－－由于作用于j点确定方向的力Pj所引起的i点在某确定方向的位移ijPj=1ABδijδjj柔度δ(Flexibility)－－单位力所引起的位移δij－－间接柔度δjj－－直接柔度δjj0δij00=05、计算位移的有关假定1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。PPBA6、计算结构位移的方法几何法单位荷载法§4-2刚体体系虚功原理及其应用一、基本概念1、功(Work)：2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。P当静力加载时，即：P由0增加至P由0增加至PT21dsdsPCOSPdTTSS),(或：dsPT实功的计算式为：3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。PTPAAD虚功的计算式为：4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：虚功的两因素:力相应的位移（1）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，应满足静力平衡条件．（2）虚位移状态：为求真实力而虚设的位移状态，应满足变形协调条。刚体虚功原理：刚体平衡的充要条件是作用于刚体上的外力在刚体的任何虚位移上所作的虚功总和为零。即：(3)、虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功，以计算结构的未知位移(如挠度、转角等).(4)、虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功，以计算结构的未知力(如支座反力等).二、刚体虚功原理理论力学质点、质点系虚功原理W外＝01、虚力原理(Virtualforcetheory)以图(a)示静定梁为例说明虚力原理已知：支座A移动位移c1，求解：因位移状态给定故用虚力原理虚设一单位力，如图(b)示ABCP=1R1图（b）由平衡条件知：R1ab由虚功方程：011abcΔ即abcΔ1未知力与已知力之间的几何方程ABC图（a）abc1A'B'应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力R1这种解法称为单位荷载法。特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。适用范围：刚体体系的位移计算，变形体体系的位移计算问题。2、支座位移时静定结构的位移计算虚设单位荷载的目的使虚功方程中正好包含拟求位移对应的力即：单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移。例1:如图示梁在支座A有竖向位移cA，拟求(1)C点的竖向位移ΔC;(2)杆CD的转角β.解:(1)在Ｃ点加一竖向Ｐ＝１，图(b)示:(a)(b)(c)列虚功方程：0311ACcΔ(２)在ＣＤ杆上一力偶Ｍ＝１，图(Ｃ)示:021１βlcA解得：ACcΔ31Acl21β所得位移为正，表明与单位荷载方向一致小结：支座K有给定位移cK时静定结构的位移计算步骤2.令虚设力在实际位移上作虚功，写出虚功方程01KRKcFΔ１．沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷载下的支座反力FRK.得到虚设的平衡力系。3.求拟求位移为：KRKcFΔ图（c）例2：已知B截面处有相对转角θ，拟求A点的竖向位移Δ。分析：图（b）图（a）Ma.12)虚设P=13)虚功方程01θMΔθaθMΔ所以1）等效图（b）例题3三铰刚架，支座B发生如图所示的位移,a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。-5解：思路:沿拟求位移方向上加单位力（图2），求出支座反力后依求位移公式计算位移：（图1）（图2）aKACR)]05.0101()03.061[().(01.0rad3.局部变形时刚体体系的位移计算公式图示悬臂梁B点附近的微段ds有局部变形．微段局部变形包括平均剪切应变γ轴线曲率为k轴向伸长应变ε求A点沿方向的位移分量dΔαBCAsdsC1A1αdΔ思路：相对剪切位移dη=γds相对转角dθ=kds=ds/R相对轴向位移dλ＝εds首先dlgdsd其次：将微段变形集中化，即ds0B截面发生集中的相对位移dλ、dη、dθ最后：应用刚体虚功原理，得ληθdNdQdMΔd———dsNQkMΔd)(εγ———或虚设单位力在截面B处引起的弯矩、剪力、轴力BAαP=1ＭＱＮ局部变形的位移计算公式kcυdduθdΔRKQNFFFMkcdsRKQNFFFM0g§4-3变形体结构位移计算一般公式RKQNFFFM、、、•其中----虚拟单位力下的弯距、轴力、剪力和反力kc、、、0g•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应变、平均剪切应变和支座位移一、公式dsεNγQkMΔd)(———dsγFεFkMΔdΔQN)(0支座位移分析，见图(a)求结构上任一点C沿指定方向K-K’上的分位移KP(1)可按常规计算方法，但计算工作麻烦。(2)利用虚功原理，结构有变形又要有力系。求结构变形，须有平衡力系虚功原理中，作功力系与位移可以彼此无关，二者之一可以虚设。见图(b)状态II表示虚拟状态，沿K-K’方向作用1KP虚拟力引起的内力为,,KKKNMQ求KP(1)先设刚架处于II：内力，外力满足平衡条件(2)再设其产生I的位移：即，将结构的实际位移作为状态II的虚位移根据虚功原理和得：1KP1KPMdNdQdsRclg1KPMdNdQdsRclgPKPKPKKPMMNNkQQdsdsdsRcEIEAGA，，NddsEAlMddsEIkQdsdsGAgPKPKPKKPMMNNkQQdsdsdsRcEIEAGA此即为由虚功原理得到的计算结构位移的一般公式(称单位载荷法)它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相对位移。虚拟状态中的单位力为所计算位移相应的广义力。二、变形体位移计算的步骤：1、沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载3、利用公式计算拟求位移Δ注：1、Δ是广义位移2、应用单位荷载法每次只能求得一个位移3、虚拟单位力的指向可任意假定，求出结果为正表明实际位移方向与虚拟单位力的方向一致，否则相反2、确定单位荷载下的结构内力M、N、Q和支反力R三、几种类型的虚拟状态求线位移：沿拟求位移方向上施加相应的单位力。求转角、相对转角：沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。1)若求结构上C点的竖向位移，可在该点沿所求位移方向加一单位力，如图示2)若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力偶。若求桁架中AB杆的角位移，应加一单位力偶，构成这一力偶的两个集中力的值取1/d。作用于杆端且垂直于杆(d为杆长)。3)若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。4)若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截面上加两个方向相反的单位力偶。PFQPNPPF,F,MEIMPκEAFNPεGAFQPk0γdsMdsFdsF0QNgdsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNP§4-4荷载作用下的位移计算及举例一、荷载作用下内力和变形的关系dsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNP以拉力为拉FFNPN——,——QPQF,F拉时时其乘积取正两者使杆件同侧纤维受——PM,M式中M,FN,FQ－－是实际荷载引起的内力以使微段顺时针转动为正1）梁和刚架dsEIMMP2）桁架dsEAFFNPN3）桁梁混合结构dsEAFFdsEIMMNPNP4）拱dsEAFFdsEIMMNPNP二、各类结构的位移公式三、位移计算举例例题1试求图示刚架A点的竖向位移AV。各杆材料相同，截面抗弯模量为EI。解：（1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出弯矩表达式AB段：BC段：（2）荷载作用下（图1）的弯矩表达式AB段：BC段：1xMKlMK221qxMP22qlMP（3）将以上弯矩表达式代入求位移公式)(85)2)((1)2)((1402210211EIqldxqllEIdxqxxEIdsEIMMllPKAV例2，计算图示刚架C端的水平位移和角位移已知EI为常数。解：在载荷作用下，刚架的图如图所示，PM状态IAB柱212PMqa212PMqxBC梁1求C点的水平位移，可在C点加一单位力得状态II，KM图BC梁0KMAB柱KMx状态II代入位移公式，得：201()20aPKcxqaMMdsdxEIEI44qaEI2求C点的角位移，可在C点加一单位弯矩,如图示.其计算方法与(1)相同例2.计算桁架结点C的竖向位移，设各杆EA都相同。解1)、分析内力：本问题因为桁架与载荷均对称，所有只需计算一半桁架的内力。ABDEa利用体系整体平衡关系，得：支座反力ABVVPb利用结点法，取A点分析由A点的Y方向平衡得：0AADVYADAYVPABDEc利用三角形关系A点X方向平衡得：0ACADNXACNP(拉力)ABDE(压力)2ADADdYNd22ADADNYP同理2ADADdXNdADXPABDEd取D点分析D点X方向平衡DEADNXP(压力)显然DC杆的杆力为零。2)、计算位移C点加一单位力P＝1由位移公式：2(22)6.83()PdPdEAEA121[2(2)()222()(1)2]22PdPdPdEA1cPKNNlEA为正值表示，C处的位移与虚拟力的方向相同。c例题3试