结构力学第3章静定梁与静定刚架(f).

第三章静定梁与静定刚架§3-1单跨静定梁§3-2多跨静定梁§3-3静定平面刚架§3-4少求或不求反力绘制弯矩图§3-5静定结构的特性§3-6静定空间刚架从本章起，讨论各类静定结构的内力计算。§3-1单跨静定梁一、单跨静定梁的种类和反力简支梁伸臂梁悬臂梁三个支座反力，可由三个平衡方程求解单跨静定梁在工程中应用很广，是组成各种结构的基本构件之一，其受力分析是各种结构受力分析的基础。§3-1单跨静定梁二、截面法求内力平面结构在任意荷载作用下，其杆件横截面上一般有三个内力分量：轴力、剪力、弯矩。计算内力的基本方法是截面法：将结构沿拟求内力的截面截开，取截面任一侧的部分为隔离体，利用平衡条件计算所求内力。§3-1单跨静定梁二、截面法求内力内力符号的规定：轴力：以拉力为正；剪力：以绕隔离体顺时针方向转动为正；弯矩：使梁的下侧受拉为正。轴力=截面一侧所有外力沿截面法线方向投影的代数和；剪力=截面一侧所有外力沿截面方向投影的代数和；弯矩=截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。对于直梁，当所有外力均垂直于梁轴线时，横截面上只有剪力和弯矩。§3-1单跨静定梁内力图：表示结构上各截面内力数值的图形称为内力图。通常是用平行于杆轴线的坐标表示截面的位置（基线），用垂直于杆轴线的坐标（竖标）表示内力的数值而绘出的。绘制内力图方法：先分段写出内力方程，以x表示任意截面的位置，由截面法写出内力与x之间的函数关系式，然后根据方程作图。或利用微分关系判断内力图形状，采用分段、定点、连线以及区段叠加法作内力图。符号：弯矩图绘在杆件受拉的一侧，图上可不注明正负号；剪力图和轴力图将正值的竖标绘在基线的上方，同时标明正负号。§3-1单跨静定梁三、内力与外力间的微分关系及内力图形状判断)13()(dddd)(ddNSSxpxFFxMxqxF§3-1单跨静定梁梁上情况q(x)=0q(x)=常数横向集中力F作用集中力偶M作用铰处剪力图水平线斜直线为0处有突变(突变值=F)如变号无变化无影响弯矩图斜直线抛物线(凸向同q指向)有极值有尖角(尖角指向同F)有极值有突变(突变值=M)为0直梁内力图的形状特征几种典型弯矩图和剪力图l/2l/2ml/2l/2Plq2P2Plm2ql2ql4Pl2m2m82ql1、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；Q图有一突变，荷载向下突变亦向下。2、集中力矩作用点M图有一突变，力矩为顺时针向下突变；Q图没有变化。3、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；Q图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜§3-1单跨静定梁四、区段叠加法作弯矩图作图a所示简支梁的弯矩图将作用的荷载分解如图b、cMA、MB作用下的弯矩图F作用下的弯矩图图b、c相加后的弯矩图如图d弯矩图的叠加是指纵坐标叠加,竖标Fab/l仍应沿竖向量取，不是垂直于MA、MB连线。方法：先将两端弯矩MA、MB绘出并连以直线（虚线），然后以此直线为基线叠加简支梁在荷载F作用下的弯矩图。该叠加法对直杆的任何区段都适用。§3-1单跨静定梁a图梁中区段AB的弯矩图取出该段为隔离体如图b图b与图c具有相同的内力图求出两端截面的弯矩MA、MB并连以直线（虚线）；在此直线上叠加相应简支梁在荷载q作用下的弯矩图。叠加法3m3m4kN4kN·m4kN·m4kN·m2kN·m4kN·m6kN·m3m3m8kN·m2kN/m4kN·m2kN·m4kN·m4kN·m6kN·m4kN·m2kN·m（1）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图§3-1单跨静定梁五、绘制内力图的一般步骤（1）求反力（悬臂梁可不求）（2）分段，外力不连续点作为分段点，如集中力及力偶作用点、均布荷载的起讫点；（3）定点，用截面法计算控制截面的内力，并在内力图的基线上用竖标绘出，即内力图上的控制点；（4）连线，将控制点以直线或曲线连接，对控制点间有荷载作用的情况，弯矩图可用区段叠加法绘制。§3-1单跨静定梁例3-1试作图a所示梁的剪力图和弯矩图。解：计算支反力。由∑MB=0，得FA=58kN（↑）由∑Fy=0，得FB=12kN（↑）§3-1单跨静定梁用截面法计算控制截面剪力。0kN12kN88kN30kN-58kNkN2038kN58kNkN20kN20RSRSRSRSRSRSRSBFDEDACFFFFFFF§3-1单跨静定梁用截面法计算控制截面弯矩。mkN16mkN4mkN16m1kN12mkN6mkN10mkN16m1kN12mkN18mkN10mkN16m2kN12mkN26m1kN30m2kN58m3kN20mkN18m1kN58m2kN20mkN20m1kN200LRLBGGFEDACMMMMMMMMmkN32822qlMMMFEH§3-1单跨静定梁mkN32822qlMMMFEH最大弯矩Mmax应在剪力为0的K截面。0kN/m5kN8xqxFFSESKx=0mkN4.3222maxqxxFMMSEE1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFG例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。[分析]该梁为简支梁，弯矩控制截面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值解：（1）先计算支座反力17ARkN7BRkN（2）求控制截面弯矩值取AC部分为隔离体，可计算得：取GB部分为隔离体，可计算得：17117CMkN717rGMkN1m1m2m2m1m1mq=4kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEFGABCDEFGABCDEFG17AClCQCM1717ClCMQ1713P=8kNADm=16kN.mGB4267GBGQrGM77rGGMQ782315308M图（kN.m）1797+_Q图（kN）FA=58kNFB=12kN164618201826MEqMFFQFFQE10FQ图(kN)§3-2多跨静定梁用于公路桥的多跨静定梁计算简图基本部分：不依赖其他部分而独立地维持其几何不变性，如AB、CD部分；附属部分：必须依靠基本部分才能维持其几何不变性，如BC部分；层叠图计算顺序：先附属部分后基本部分与几何组成的顺序相反由若干根梁用铰相联，并用若干支座与基础相联而组成的静定结构。分析多跨静定梁的一般步骤对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将支座C的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座C的反力反向加在基本部分AC的C端作为荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图。（a）EACACE（b）练习:区分基本部分和附属部分并画出关系图左边伸臂梁为基本部分，其余各段梁则依次分别为其左边部分的附属部分。§3-2多跨静定梁例3-2试作图a所示多跨静定梁。解：AB为基本部分，在竖向荷载作用下CF为基本部分，层叠图如图b。§3-2多跨静定梁各段梁的隔离体图如图c。先算附属部分；后算基本部分；弯矩图如图d；剪力图如图e。2m2m2m1m2m2m1m4m2m80kN·mAB40kNCDE20kN/mFGH80kN·m2020404040kNC2025520502020kN/mFGH1020405585255040kNCABFGH20kN/m80kN·m构造关系图2050404010204050例:作内力图50205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80kN·mAB40kNCDE20kN/mFGH2555585M图（kN·m）2540kN5558520kN/m251520354540Q图（kN）§3-2多跨静定梁例3-3图a所示多跨静定梁，欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相等，试确定铰B、E的位置。解：先分析附属部分，后分析基本部分，如图b。AB段中点I的弯矩为8)(2xlqMICD段的最大弯矩发生在跨中GCGMqlM82截面C弯矩的绝对值为2qlxMCAC段中点H的弯矩为282CHMqlMMHMG最大正弯矩为MI令MI=MC可得§3-2多跨静定梁28)(2qlxxlq0622lxx解得llx1716.0)223(弯矩图如图c图d为相应多跨梁的弯矩图20858.0qlMC§3-2多跨静定梁（c）图的最大弯矩值比（d）图小31.36%。由于在多跨静定梁中布置了伸臂梁的缘故，它一方面减小了附属部分的跨度，一方面又使得伸臂上的荷载对基本部分产生负弯矩，从而部分地抵消了跨中荷载所产生的正弯矩。多跨静定梁比相应多跨简支梁在材料用量上较省，但构造上要复杂一些。§3-2多跨静定梁例3-4试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。解：不算反力先作弯矩图1）绘AB、GH段弯矩图，与悬臂梁相同；2）GE间无外力，弯矩图为直线，MF=0，可绘出；同理可绘出CE段；3）BC段弯矩图用叠加法画。§3-2多跨静定梁由弯矩与剪力的微分关系画剪力图弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转，剪力为正，反之为负。弯矩图为曲线：根据杆端平衡条件求剪力，如图c。剪力图作出后即可求支座反力取如图e的隔离体可求支座c的反力弯矩—剪力—支座反力§3-3静定平面刚架常见静定刚架的型式悬臂刚架简支刚架三铰刚架§3-3静定平面刚架静定刚架的内力：弯矩、剪力、轴力，其计算方法与静定梁相同，需先求出支座反力。（1）刚架与地基按两刚片规则组成，支座反力三个；（2）刚片与地基按三刚片规则组成（如三铰刚架），支座反力四个，除考虑结构整体的三个平衡方程外，需再取刚架的左半部（或右半部，一般取外荷载较少部分）为隔离体建立一个平衡方程，求出全部反力；（3）刚架由基本部分与附属部分组成，按先附属部分后基本部分计算顺序。反力求出后，即可逐杆按照分段、定点、连线的步骤绘制内力图。§3-3静定平面刚架内力表示方法：在内力符号后面引用两个脚标：第一个表示内力所属截面，第二个表示该截面所属杆件的另一端。如：MAB表示AB杆A端截面的弯矩FSAC表示AC杆A端截面的剪力内力图：弯矩图绘在杆件受拉边，不注正负号剪力和轴力的符号规定与梁相同，剪力图和轴力图可绘在杆件的任一侧但必须标明正负号。如图（a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点C处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。XAMB0lqfYffqlYAA20220AMlqfYffqlYBB20220X0BAXfqXqfXXBAl/2l/2qABCf(a)qfl/2l/2ABC(b)YAYBXBXAqfl/2l/2ABC(b)YAYBXBfl/2C(c)YBXBBXCYC0CM02lYfXBB4qfXB于是qfXA43qfXXBAOl/2l/2qABCfOABDCqOO’注意：三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键所在。通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的复杂程度和难度。XCXCYCXDYBYAXAQCABqYCqPDC(b)PQqABDC(a)(c)如右图(a)是一个多跨刚架，具有四个支座反力，根据几何组成分析：Ｃ以右是基本部分、以左是附属部分，分析顺序应从附属部分到基本部分。①分段：根据荷载不连续点、结点分段。②定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。③求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。④画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N图要标＋，－号；竖标大致成比例。刚架的内力分析及内力图的绘制例1.试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制