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第二章平面体系的机动分析§2-1概述平面杆件结构，是由若干根杆件构成的能支承荷载的平面杆件体系，而任一杆件体系却不一定能作为结构。本节内容：研究结构的组成规律和合理形式。前提条件：不考虑结构受力后由于材料的应变而产生的微小变形，即把组成结构的每根杆件都看作完全不变形的刚性杆件。一、术语简介１、几何不变体系：在荷载作用下能保持其几何形状和位置都不改变的体系称之。２、几何可变体系：在荷载作用下不能保持其几何形状和位置都不改变的体系称之。３、刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。二、研究体系几何组成的任务和目的：１、研究结构的基本组成规则，用及判定体系是否可作为结构以及选取结构的合理形式。２、根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算途径。§2-2平面体系的计算自由度一、自由度的概念体系可独立运动的方式称为该体系的自由度。或表示体系位置的独立坐标数。平面体系的自由度：用以确定平面体系在平面内位置的独立坐标数。（图2-2）所示，为平面内一根链杆ＡＢ，其一端Ａ和大地相连，显然相对于大地来说这根链杆在平面内只有一种运动方式，即作绕Ａ点转动，所以该体系只有一个自由度。同时又可看到，如果用链杆ＡＢ与水平坐标的夹角作为表示该体系运动方式的参变量，即表示该体系运动中任一时刻的位置，表示体系位置的参变量数与体系的自由度数也是相等的。所以，该体系的自由度数为１个。平面内最简体系的自由度数：一个点：在平面内运动完全不受限制的一个点有２个自由度。一个刚片：在平面内运动完全不受限制的一个刚片有３个自由度。二、约束概念当对体系添加了某些装置后，限制了体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少，就说这些装置是加在体系上的约束。约束，是能减少体系自由度数的装置。１、单约束连接两个物体（刚片或点）的约束叫单约束。１）单链杆（链杆）（上图）一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）具有１个约束。２）单铰（下图）一个单铰或一个固定铰支座（两个支座链杆）具有两个约束。３）单刚结点一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。２、复约束连接３个（含３个）以上物体的约束叫复约束。１）复链杆：若一个复链杆上连接了Ｎ个结点，则该复链杆具有(2N-3)个约束，等于(2N-3)个链杆的作用。２）复铰：若一个复铰上连接了Ｎ个刚片，则该复铰具有2(N-1)个约束，等于(N-1)个单铰的作用。一个单铰减少体系2个自由度一个复铰相当于（n-1）单铰n为复铰联结的刚片数减少体系2（n-1）个自由度三、多余约束在体系上加上或撤除某一约束并不改变原体系的自由度数，则该约束就是多余约束。•体系的计算自由度体系的计算自由度W＝体系各组成部分总的自由度数减去体系中总的约束数。对于几何不变体系，应满足：W0或W=0W=2j-（b+r）§2-3几何不变体系的基本组成规则一、几何不变体系的简单组成规则规则一（三刚片规则）：三个刚片用不全在一条直线上的三个单铰（可以是虚铰）两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。＊铰接三角形规则（简称三角形规则）：平面内一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系。规则二（二元体规则）：二元体特性：在体系上加上或拆去一个二元体，不改变体系原有的自由度数。利用二元体规则简化体系，使体系的几何组成分析简单明了。见图2-9、2-10。规则三（两刚片规则）：（图2-11）两个刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。或：两个刚片用一个单铰和杆轴不过该铰铰心的一根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。＊虚铰的概念：虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于一点。当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚片绕该交点（瞬时中心，简称瞬心）作相对转动。从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时中心的一个实铰的作用。以上三个规则可互相变换。之所以用以上三种不同的表达方式，是为了在具体的几何组成分析中应用方便，表达简捷。例1对下列图示各体系作几何组成分析(简单规则的一般应用方法)。１、瞬变体系几何组成特征：在微小荷载作用下发生瞬间的微小的刚体几何变形，然后便成为几何不变体系。§2-4瞬变体系２、瞬变体系的静力特性：在微小荷载作用下可产生无穷大内力。因此，瞬变体系或接近瞬变的体系都是严禁作为结构使用的。瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足规则的一类体系，是特殊的几何可变体系。FNAB=FNAC=FP2FNsina=FPFN=FP/(2sina)例2对下列图示体系作几何组成分析（说明刚片和约束的恰当选择的影响）.三、三个刚片的三个单铰有无穷远虚铰情况：两个平行链杆构成沿平行方向上的无穷远虚铰。三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交点，容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论。当三个单铰中有或者全部为无穷远虚铰时，可由分析得出以下依据和结论：１、当有一个无穷远虚铰时，若另两个铰心的连线与该无穷远虚铰方向不平行，体系几何不变；若平行，体系瞬变。２、当有两个无穷远虚铰时，若两个无穷远虚铰的方向相互不平行，体系几何不变；若平行，体系瞬变。３、当有三个无穷远虚铰时，体系瞬变。例3对下列图示体系作几何组成分析。例4对图示各体系作几何组成分析。四、有多余约束的几何不变体系：拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无多余约束的几何不变体系，则去掉的约束数即是体系的多余约束数。１、切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去掉一个约束；２、切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当去掉两个约束；３、切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当去掉三个约束；４、在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去掉一个约束。第二章小结一、本章要求１、了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、刚片、体系的自由度、虚铰、约束及多余约束的概念；２、重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组成规则，并能灵活应用到对体系的分析中；二、简单规则应用要点简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、约束方式、结论。应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是：紧扣规则。即，将体系简化或分步取为两个或三个刚片，由相应的规则进行分析；分析过程中，规则中的四个要素均要明确表达，缺一不可。三、对体系作几何组成分析的一般途径１、恰当灵活地确定体系中的刚片和约束体系中的单个杆件、折杆、曲杆或已确定的几何不变体系，一般视为刚片。但当它们中若有用两个铰与体系的其它部分连接时，则可用一根过两铰心的链杆代替，视其为一根链杆的作用。２、如果上部体系与大地的连接符合两个刚片的规则，则可去掉与大地的约束，只分析上部体系。３、通过依次从外部拆除二元体或从内部（基础、基本三角形）加二元体的方法，简化体系后再作分析。上节课重点回顾：１、结构体系自由度W=2j-（b+r）几何不变体系应满足：W0或W=0２、几何不变体系的组成分析（1）三刚片规则（2）二元体规则（3）两刚片规则第一部分静定结构内力计算静定结构的特性：１、几何组成特性２、静力特性静定结构的内力计算依据静力平衡原理。第三章静定梁和静定刚架§3-1单跨静定梁单跨静定梁的类型：简支梁、伸臂梁、悬臂梁1、反力2、内力概念内力是结构承受荷载及变形的能力的体现，可理解为在各种外因用下结构内部材料的一种响应。内力是看不见的，但可由结构上受有荷载和结构发生变形（变形体）体现。２、截面法若要求某一横截面上的内力，假想用一平面沿杆轴垂直方向将该截面截开，使结构成两部分；在截开后暴露的截面上用力（内力）代替原相互的约束。对于截开后结构的两部分上，截面上的内力已成为外力，因此，由任一部分的静力平衡条件，均可列出含有截面内力的静力平衡方程。解该方程即将内力求出。３、截面内力截开一根梁式杆件的截面上有三个内力（分量），即：轴力ＦN、剪力ＦS和弯矩Μ。１、内力的定义ＦN：截面上平行于截面外法线方向的正应力的代数和，一般以受拉为正。ＦS：截面上垂直于截面法线方向的切应力的代数和，以使隔离体产生顺时针转动为正。Μ：截面上正应力对截面中性轴的力矩代数和，对梁一般规定使其下部受拉为正。２）内力计算式（用截面一侧上外力表达的方式）：ＦN＝截面一侧所有外力在杆轴平行方向上投影的代数和。左左为正，右右为正。ＦQ＝截面一侧所有外力在杆轴垂直方向上投影的代数和。左上为正，右下为正。Μ＝截面一侧所有外力对截面形心力矩代数和。弯矩的竖标画在杆件受拉一侧。例3-1求图（a）所示简支梁在图示荷载下截面的内力。解：1）支座反力∑ΜA=0FBy×4﹣10×4×2﹣100×(4/5)×2=0Fby=60kN(↑)∑ΜB=0FAy=60kN(↑)∑Fx=0FAx+100×(3/5)=0FAx=－60kN(←)由∑Ｆy=0校核，满足。２）Ｃ截面内力∑Ｆx=0ＦNC－60=0ＦNC=60kN∑Ｆy=0ＦQC－60+10×1.5=0ＦQC=45kN∑ΜC=0ΜC－60×1.5－10×1.5×(1.5/2)=0ΜC＝101.25kNm（下侧受拉）１）计算支座反力去掉梁的支座约束，代以支座约束反力，并假定反力的方向，建立梁的整体平衡方程。２）求C截面的内力切开过C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向将内力示出，建立静力平衡方程。说明：计算内力要点：１）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断并代以约束力、内力。２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向，并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方向。３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均按规定的正方向画出。二、荷载与内力的关系１、内力图概念表示结构上所有截面的轴力、剪力和弯矩分布的图形称为内力图。作内力图的最基本的方法是，按内力函数作内力图。１）建立表示截面位置的x坐标２）取x处的（即K截面）以右部分建立平衡方程∑Ｆy=0得梁ＡＣ段的剪力函数：FQk＝70-20x(0≤x≤4)梁ＡＣ段的剪力图是一条斜直线，取该区段内任意两截面的座标值代入函数，既可画出该区段的剪力图。内力函数是分段的连续函数。２、荷载与内力的关系微分关系：dFN/dx=-qxdFQ/dx=-qydM/dx=Qd2M/dx2=-qy增量关系：DFN=-FPxDFQ=-FPyDM=m１）微分关系及几何意义：dFN/dx=-qxdFQ/dx=-qydM/dx=Qd2M/dx2=-qy（１）在无荷载区段，ＦQ图为水平直线；当ＦQ≠０时，Μ图为斜直线;当ＦQ＝０时，Μ图为水平直线。（２）在均布荷载区段，ＦQ图为斜直线；Μ图为抛物线，且凸向与荷载指向相同。２)增量关系及几何意义：DFN=-FPxDFQ=-FPyDM=m(１）水平集中力FPx作用点两侧截面FN图有突变，其突变值等于FPx。FQ图和Μ图不受影响。（２）竖向集中力FPy作用点两侧截面FQ图有突变，其突变值等于FPy。Μ图有折点，其折点的尖角与FPy方向相同；FN图不受影响。（３）集中力偶Μ作用点两侧截面的Μ图有突变，其突变值等于Μ；FN图和FQ图不受影响。３、利用荷载和内力关系的几何意义,可由荷载的分布和类型定性地判断或校核区段上的内力图形状以及突变点和突变值的大小。三、叠加法作弯矩图1、简支梁的弯矩图叠加法２、弯矩图叠加的实质：指弯矩竖标的叠加（而不是图形的简单叠加），当同一截面在两个弯矩竖标在基线不同侧时，叠加后是两个竖标绝对值相减，弯矩竖标画在绝对值大的一侧；当两个竖标在基线同一侧时，则叠加后是两个竖标绝对值相加，竖标画在同侧。基线接力法概念。３、直杆段弯矩图的区段叠加法直杆区段的弯矩图叠加可利用简支梁的弯矩图叠加法。其步骤是：（１）计算直杆区段两端的最后弯矩值，以杆轴为基线画出这两个值的竖标，并将两竖标连一直线；（２）将所