许家清基于过程能力指数的产品供货商选择

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作者信息作者姓名:许家清(xujia-qing)所在单位:绍兴文理学院数学系,浙江绍兴312000(Shaoxinguniversity,ZhejiangShaoxing312000China,)通讯地址:浙江省绍兴市环城西路5号绍兴文理学院数学系邮政编码:312000联系电话:0575-85079117013906613955E-MAIL:xujiaqing@zscas.edu.cn作者简介:许家清,男,浙江绍兴人,1965年出生,硕士,高级统计师,主要研究统计质量控制理论,可靠性统计,广义线性模型等。SelectingasupplierbasedtheprocesscapabilityindicespmCAbstractThispaperconstructtheapproximateconfidenceintervalofpmjpmiCC,whichcanbeusedtoselectthebetteroftwosuppliersfornon-normalprocesses.Asimulationandanillustratedexampledemonstratethemethodiseffective.Keywords:processcapabilityindices,approximateconfidenceinterval,maximumlikelihoodestimate,approximatedistribution基于过程能力指数的产品供货商选择摘要:在常规的正态性假设不满足的情况下,本文利用pmjpmiCC的渐近分布构造了一个近似置信区间来作为选择最佳供货商的依据,并用计算机模拟方法和一个数值例子阐述了方法的可行性.关键词:过程能力指数,近似置信区间,极大似然估计,渐近分布1引言过程能力指数分析常被用来判断制造的产品是否满足用户(或工厂预先设定标准)的要求,也可作为采购方对供货方提供的产品是否达到要求的一项标准。特别在有多个供货商时,如何选择最佳产品是一个十分实际的问题。目前有许多过程能力指数被用来评估过程的能力,这些指数大致可分为三代[1],第一代称为基于均值-方差的能力指数,pC6LSLUSLpkC3},min{3LSLUSLMd。第二代指数在考虑均值方差对能力的影响外引入了过程偏离目标值的因素,pmC])[(3)(3222TXEdTd.第三代过程能力指数结合了pkC和pmC的一些优点定义为})(3,)(3min{2222TLSLTUSLCpmk,其中是过程均值,是过程的标准差,2/)(LSLUSLd是规格区间的半长,2/)(LSLUSLM是上下规格限的中点,T是目标值,目前比较常用的过程能力指数是pmC,不失一般性,以下仅讨论如何利用pmC来选择最佳供货商.2过程能力指数的置信区间2.1正态性假设下的置信区间显然,如果过程的分布已知,能力指数的计算是简单并且精确的,只要选择指数最大的供应商即可.但对于绝大部分产品,检验只是抽样,所以指数只能通过统计方法得到近似估计,考虑到抽样误差,直接用指数的点估计来比较二个过程的能力似乎不妥,比较有说服力的办法是利用指数的区间估计,或假设检验,设iniiXXX,,,21。ri,2,1,是容量为n(此处仅考虑等容量,但并不是必要的)的来自r个供货商产品的样本集,每个供货商提供的产品有相同的产品规格限],[USLLSL和目标值T。对应的样本均值和方差记为iXnjijX1,2isnjiijXXn12)(1,第i个供货商产品的pmiC估计为pmiCˆ22)(6TXsLSLUSLii。在过程X满足正态性假设下[2],)ˆ/(pmipmiiCCf近似服从自由度为if的中心2分布,其中if的估计值为222)/)((21))/)((1(ˆiiiiiiSTXSTXnf,据此可得pmiCˆ的)%1(100近似置信区间为:],[uiliCCpmiiiCffˆˆ/)ˆ((22/,)ˆˆ/)ˆ(22/1pmiiiCff,由此来评估第i与第j个供应商产品的过程能力高低,通常的法则为:若ljliCC且ujuiCC则认为i优于j;若ljliCC且ujuiCC则认为j优于i;在其余情形认为二者无显著差异.[3]给出了一个较严厉的法则:当ujliCC时认为i优于j;当ljuiCC时认为j优于i;而在],[uiliCC],[ujljCC时用一个所谓模糊推断方法来选择最佳供货商.2.2非正态情形下的置信区间当过程的正态性假设不满足时,特别在过程密度有一定的偏度时,上述方法不再有效,设第i个供货商产品的过程)(iX的分布函数为),(iixF,有密度函数为),(iixf,未知参数i),,,(21ikii,i为),(iixF的分位点我们以Clements[4]提出的指数pmC25.0200135.099865.0)()6(6TLSLUSL为例给出选优方法.由样本iniiXXX,,,21可得未知参数i的极大似然估计(MLE)iˆ,),(iixF的分位点i的MLE为)ˆ(ˆii,由此可得指数的MLE为:pmiCˆ25.0200135.099865.0))ˆ(ˆ()6)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ(6TLSLUSLiiiiii则利用MLE的渐近正态性[5]可以证明pmiCˆ的渐近正态性,即:),0()ˆ(idpmipmiNCCn(‘d’表示近似服从)其中)()()()()(1iiiiiiWRIRW,)(iI为对应的Fisher信息阵。方差i的相合估计为)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ()ˆ(ˆ1iiiiiiWRIRW()(iW1ippmiC,2ippmiC,3ippmiC),ikpikpikipipipiipiR321321111)(其中)ˆ(iIn1iiiiiLˆ2)(ln,在满足一些正则条件下为)(iI的相合估计。由此得到pmiC的)%1(100近似置区间为:nzCipmiˆˆ(2,)ˆˆ2nzCipmi,其中z为)1,0(N的上侧分位数.通常认为各过程是相互独立的,因此可利用ijepmjpmiCC的置信区间来评估第i与第j个供应商产品的过程能力高低,由于iˆ是i的相合估计,不难证明pmjpmiCCˆˆ[)](pmjpmiCCnnji/ˆ/ˆ/d)1,0(N,由此得ije的)%1(100近似置信区间为:],[uijlijeepmjpmiCCˆˆ[-2/znnji/ˆ/ˆ,pmjpmiCCˆˆ-2/z]/ˆ/ˆnnji,则当0lije且0uije时认为i优于j,当0lije且0uije时认为j优于i,当lije和uije异号时认为二者差别不显著.3置信区间的精度分析用MonteCarlo模拟来分析ije置信区间的精度,设第ij,个供货商产品的过程)(iX)(,jX分别服从),(iimWeibull和),(jjmWeibull,取真值为i)4.4,2.4(),(iim,j)2.4,4(),(jjm.此时pmiC199.1,pmjC090.1.ije109.0用计算机模拟n个来自),(iimWeibull和),(jjmWeibull分布的样本数据iniiXXX,,,21和jnjjXXX,,,21,利用样本计算参数i,j的MLEiˆ,jˆ和i,i的MLE)ˆ(ˆi,)ˆ(ˆj据此可计算ijeˆ和相关的置信区间.为验证置信区间的精确度,将上述过程重复1000次,计算置信区间覆盖ije的比例.样本容量n分别取20,30,50,100,sdlavlaveij,,分别为1000次模拟中ijeˆ和置信区间长度的平均值及其置信区间长度的标准差,covr为覆盖率.置信水平取为%95.有关结果见下表:naveijavlsdlcovr200.14140.41850.00160.7330300.12140.41840.00130.8120500.12170.41680.00100.93011000.11490.41600.00080.9580从模拟的结果看样本容量在30以下时精确度不是很理想,当50n时已经基本满足精度要求,同时看出随着n的增加置信区间的覆盖率不断提高,符合大样本性质,.所以在实际应用时应注意所检验产品的样本容量.4数值例子电压是铝箔的一个重要质量指标,而铝箔是影响电容器质量的一个关键性部件,从向电子公司提供铝箔的二个供应商中各抽取了50个产品,检验测得的电压如下[6]:供应商1519.9519.5520.1517.0521.1517.1518.7520.1521.2521.7520.4517.9522.9517.7517.2520.7521.0519.1518.4518.9517.9518.4520.8519.3520.6516.6519.0520.6517.9519.6519.6522.6518.3522.1523.1519.9519.8520.7516.5521.5519.2521.2518.9517.8521.3521.3517.4519.5522.0523.8供应商2521.7521.3523.5524.4522.5523.3527.1524.9522.9524.2523.9523.5527.5517.3518.7518.7521.9519.7520.4520.4523.7526.8517.7528.1517.5523.8514.7522.6518.5526.3523.2524.4522.7519.6520.4520.6525.2524.1519.3522.2520.1521.9516.7520.9525.2522.6523.1521.7520.9526.3电压的规格限为:)510,520,530(),,(LSLTUSL.过程近似服从Weibull分布.利用2.2给出的方法计算得到21pmpmCC的95%置信区间为)249241.1,5905334.0(.所以有95%的把握可以认为供应商1比供应商2优.5结论过程能力指数pmC不但考虑过程均值和方差对指数的影响,还引入了过程偏离目标值的因素,是目前比较常用和成熟的过程能力指数,本文对不满足正态性假设时,如何利用pmCˆ来选择多个供应商的产品作了探讨,给出了具体的方法,并通过模拟计算和一个数值例子说明了方法的可行性.有关计算程序可向作者索取.值得指出的是上述方法对利用其它能力指数可类似推得.参考文献[1]ZacharyG.StoumbosProcesscapabilityindices:overviewandextensions,NonlinearAnalysis:RealWorldApplications3(2002)191-210[2]PearnWL,KotzS,JohnsonNLDistributionalandinferentialpropertiesofprocesscapabilityindices.JQualTech24(4):343-360(1992)[3]Tsai-WaiChen,J.Y.Lin,K.SChenSelectingasupplierbyfuzzyevaluationofcapabilityindicespmC,IntJAdvManufTechnol(2003)22:534-540[4]Clements,J.A.Processcapabilitycalculationsfornon-normaldis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