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1新教材教学中要重视数学思想方法的应用李军祥众所周知，数学思想方法是数学的灵魂，它反映在数学教学内容里面，体现在解决问题的过程之中，它是将知识转化为能力的桥梁。只有运用数学思想方法，才能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力。以前的旧教材就比较重视数学思想方法的介绍和学习，高考中更是把数学思想方法作为重点考查，历来备受命题者所青睐。而如今的新教材，尽管体系章节被打乱，但同样将数学思想方法的应用放在突出的地位。下面就以北师大版高一数学新教材教学实践为例，谈谈自己在这方面的体会。一．分类讨论思想的应用：分类讨论法就是对问题所涉及的各个方面进行统一分类后再分别求解的方法。用分类讨论思想解题，不仅需要明确引起分类讨论的原因，还要明确分类讨论必须遵循的原则———不重复、不遗漏、简洁清晰。一般地，涉及情况比较多且不易用统一的方法去求解的问题常采用分类讨论法求解。比如（必修3）中的互斥事件正是在分类讨论的思想方法下产生的，它是对一次试验中所有基本事件的分类解析，互斥事件关系中的“不能同时发生”，恰好体现了分类讨论的原则“不重复”，而“不遗漏”则表现在所有互斥事件的和是整个事件（必然事件）。实例1.（必修3）第160页C组第1题：把一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高等距离地各切三刀，则大正方体被分割成了64个大小相等的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起。如果你从这些小正方体中随意地取出1个，这个小正方体各个面都没有涂红色的概率是多少？分析：为了算出各个面都没有涂红色的小正方体的个数，必须对这64个小正方体按涂了几个面分类解之，涂三个面的有8个，涂二个面的有12×2=24个，涂一个面的有4×6=24个，因此各个面都没有涂红色的有64-8-24-24=8个，所以所求的概率是81648P.点评：此题若不分类解之，便不好直接计算各个面都没有涂红色的小正方体的个数；另外，此题也可改编为求涂三个面或二个面的小正方体的概率。实例2.（必修1）第6页B组第1题：已知集合2x210,ARaxxaR中只有一个元素（A也可叫作单元素集合），求a的值，并求这个元素。分析：A为单元素集合，等价于方程2210axx有唯一的解。学生在完成此题时，习惯于由⊿=0得4-4a=0,从而算出a=1。殊不知当a=0时，2x=12也符合题意。因此，此题解答时必须分a=0和0a解之。点评：要用方程的判别式法，该方程必须是一元二次方程，因此要分a=0和0a（当a=0时，方程为一元一次方程）解之。实例3．（必修1）第57页C组第3题：求二次函数22()2(21)542fxxaxaa在0,1上的最小值()ga的解析式。分析：二次函数在闭区间上的最小值是在顶点还是端点取得，关键看对称轴x=2a-1在不在给定的定义域区间内。而对称轴x=2a-1显然随a的变化而变化，因此解答时要分对称轴在区间左侧、在区间内和在区间右侧三种情况解之。二．函数和方程思想的应用：函数与方程的思想是中学数学的基本思想，高考题中函数与方程的思想的应用占较大的比例，题型涉及选择题、填空题、解答题，难度有大有小。函数的思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决。方程的思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。实例1．（必修2）第53页例3：将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，截面的面积为A。(1)求面积A以x为自变量的函数式；(2)求截得棱柱的体积的最大值。x2分析：（1）易得A=24xx（0x2）;(2)22242214(4)4(2)4VAxxxxxxx，3所以当x=2时，V有最大值2。点评：此题关键在于建立适当的函数关系式，从而利用二次函数方法即函数的思想求得了棱柱的体积的最大值。实例2．（必修2）第91页A组1.(3)：求经过点A（5，2）和B（3，-2），圆心在直线2x-y=3上的圆的方程？分析：（法一）设所求方程为222()()xaybr，则222222(5)(2)(3)(2)23abrabrab。解得a=2,b=1,r=10,故圆方程为22(2)(1)10xy。(法二）由A（5，2）和B（3，-2）可得直线AB的方程是2x-y-8=0,从而可求出线段AB的中垂线方程是x+2y-4=0。因为线段AB的中垂线必过圆心，所以由x+2y-4=02x-y-3=0得21xy,即圆心为（2，1），半径为10，故圆方程为22(2)(1)10xy。点评：法一用待定系数法，利用方程思想设量、列方程和解方程，求出了圆的方程；法二利用方程思想求出了圆心是问题的关键，解法简捷，耐人寻味。三．数形结合思想的应用：数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的；每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法（简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法），称之为数形结合的思想方法。运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。4②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并揭示隐含的数量关系。实例1．（必修2）第103页C组第3题：已知x,y满足x+y=3,求证：22(5)(2)18xy。分析：（法一）由y=x-3得2222(5)(2)(5)(32)xyxx2222(5)(1)28262(2)1818xxxxx。（法二）要证不等式可看成点（-5，2）到直线x+y=3上的任意点的距离的平方的最小值是18，而点（-5，2）到直线x+y=3上的任意点的距离的最小值是该点到直线的距离d,22523632211d,所以不等式成立。点评：法一利用代数方法，通过二次函数知识证明了不等式；法二利用几何方法，“由数化形”，比较简捷地证明了不等式。实例2．（必修2）第85页例2：已知两点1M（4，9）和2M（6，3），求以12MM为直径的圆的方程？分析：（法一）利用中点坐标公式易得圆心为（5，6），半径22(45)(96)10，所以所求圆的方程是22(5)(6)10xy；（法二）设M(x,y)是圆周上的任一点(不与1M,2M重合)，则由12MMMM得93146yyxx，从而求得圆的方程。点评：法一利用直接法，由已知条件求出了圆心、半径，利用圆的标准方程写出了所求圆的方程；法二利用几何法，由圆的几何性质（半圆圆周角是直角）列方程直接得出圆的方程，思维简捷，过程精练，值得总结研究。四．等价转化思想的应用：在解决数学问题时，往往需要将复杂的问题等价转化为简单的、基本5的或熟悉的问题，从而达到快速解决问题的目的，这里所说的“等价”指的是在前后转化过程中要始终保持题意的一致性。实例1．（必修4）第21页B组第3题：利用三角函数定义证明cossin11sincossin1cos。分析：利用三角函数定义证明此题，作为教材安排训练学生的思维，不失为一道好题，但证明较麻烦，有一定的难度。为此，学生学了同角三角函数的基本关系后，在课堂我给学生安排了一道探究题，让学生旧题新作，重新证明这道题。学生兴趣浓厚，交流热烈，很快完成了证明。学生分析，只需将等式转化为cos(cossin1)(1sin)(cossin1)，而此等式右边(1sin)cos(1sin)(1sin)=2(1sin)coscos1-sincos)cos（=左边。点评：由ACBD到AD=BC的“转化”可以优化解题过程，将复杂问题简单化，从而使问题变得容易解决。实例2.（必修2）第51页B组第3题：如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB,平面FBC⊥平面ABCD。△FBC中BC边上高FH=2，EF=32。求该多面体体积。分析：过E作EN∥FC,交CD于N，再过N作NM∥BC,交AB于M，连结EM。显然，原多面体可看作一个四棱锥E-AMND和一个三棱柱MNE-BCF组成，所以多面体体积为13131532+32=32222。HNMBADCEF6点评：此题通过分割转化，将复杂的、不易解决的不规则的几何体分解为两个熟悉的几何体（四棱锥和三棱柱），从而解决了较复杂的问题。当然，此题也可将不规则的几何体转化为规则的几何体（直三棱柱），只须在原几何体的左侧补一个小三棱柱即可（过程从略）。这种“分割”和“补体”的方法，就是等价转化思想在立体几何中的具体应用。总之，在新教材教学中，只要我们重视数学思想方法的渗透和培养，就能帮助学生将知识转化为能力，提高他们分析问题和解决问题的能力以及用数学思想准确解决数学综合问题的能力。“熟能生窍”，只有不断总结和探索数学思想方法的应用，就能熟练解决各种数学常见问题。(2008年11月28日发表于《中学生学习报》数学教研周刊版第86期)