论文求极限的方法(郝晓静)

1求极限的方法郝小静山东博兴滨州技师学院256500摘要：本文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。关键词：极限、方法、类型、洛比达法则、定积分一引言高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。二具体方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim0xfxx和)(limxgxx都存在，则函数)(xf)(xg，)()(xgxf当0xx时也存在且①)()()()(limlimlim0.00xgxfxgxfxxxxx②)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx又若0)(lim0xgxx，则)()(xgxf在0xx时也存在，且有)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如、00等情况，都不能直接用四则运算法则，2必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例1：求2422limxxx解：原式=02222limlim22xxxxxx⒉用两个重要的极限来求函数的极限①利用1sinlim0xxx来求极限1sinlim0xxx的扩展形为：令0xg，当0xx或x时，则有1sinlim0xgxgxx或1sinlimxgxgx例2：xxxsinlim解：令t=x.则sinx=sin(t)=sint,且当x时0t故1sinsinlimlim0ttxxtx例3：求11sin21limxxx解：原式=211sin1111sin122121limlimxxxxxxxxx②利用exx)11(lim来求极限exx)11(lim的另一种形式为e10)1(lim.事实上，令.1xx.0所以xxxe)11(lime10)1(lim3例4:求xxx10)21(lim的极限解：原式=221210)21()21(limexxxxx利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。⒊利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即.1)()(lim0xgxfxx称)(xf与)(xg是0xx时的等价无穷小量，记作)(xf)(~xg.)(0xx.定理2②：设函数)(),(),(xhxgxf在)(00xu内有定义，且有)(xf)(~xg.)(0xx①若,)()(lim0Axgxfxx则Axhxgxx)()(lim0②若,)()(lim0Bxfxhxx则Bxgxhxx)()(lim0证明：①AAxhxfxfxgxhxgxxxxxx1)()()()()()(limlimlim000②可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例5：求30sinsintanlimxxxx的极限解：由).cos1(cossinsintanxxxxx而)0(,~sinxxx；,2~cos12xx（x0）；33sinxx3~x,（x0）.故有30sinsintanlimxxxx=lim0x212cos132xxxx4注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于1sinlim0xxx，故有xsin).0(,~xx又由于,1arctanlim0xxx故有arctanxx~，(x0).⒋利迫敛性来求极限定理3③：设lim0xxf(x)=lim0xxg(x)=A,且在某),('0xuo内有f(x)h(x)g(x),则lim0xxh(x)=A例6：求lim0xxx1的极限解：1xx11-x.且1)1(lim0xx由迫敛性知lim0xxx1=1做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。⒌利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数)(xf在0x点连续，则)()(0lim0xfxfxx及若axxx)(lim0，且f(u)在点a连续，则)()(limlim00xfxfxxxx例7：求2arcsin2cos10limxxxe的极限解：由于lim0x41arcsin2cos12xx及函数4euf在41u处连续，故lim0x2arcsin2cos1xxe=20arcsin2cos1limxxxe=41e。⒍利用洛比达法则求函数的极限5在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作00型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。下面就给出不定式极限的求法。(1)对于00型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限定理4④：若函数f(x)和函数g(x)满足：①lim0xx)(xf=lim0xx)(xg=0。②在点0x的某空心邻域)(00xu内两者都可导，且0)('xg③lim0xx)(')('xgxf=A。（A可为实数，也可为或）则lim0xx)()(xgxf=lim0xx)(')('xgxf=A。注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。(2)型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理5⑤：若函数f(x)和函数g(x)满足：①lim0xx)(xf=lim0xx)(xg=②在点0x的某空心邻域)(00xu内两者都可导，且0)('xg③lim0xx)(')('xgxf=A，（A可为实数，也可为或）。则lim0xx)()(xgxf=lim0xx)(')('xgxf=A。此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。三总结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅6仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。注释：①②③④⑤，华东师范大学数学系，《数学分析》，高等教育出版社，2001年6月第3版，第49，62，49，127，128页。参考文献①华东师范大学数学系，《数学分析》，高等教育出版社，2001年6月第3版②陈传璋，朱学炎等，《数学分析》，复旦大学数学系，高等教育出版社作者姓名：郝晓静单位：滨州技师学院通讯地址：山东省滨州市博兴县博城五路857号邮政编码：256500注明：请蔡老师发表在《现代教师与教学》上