统计学第7章参数估计.

应用统计学王印红中国海洋大学法政学院[e-mail]第7章参数估计参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计第7章参数估计§7.1参数估计的概论§7.2一个总体参数的区间估计§7.3两个总体参数的区间估计§7.4样本容量的确定统计推断的过程样本总体样本统计量例如：样本均值、比例、方差§7.1参数估计的概论1.估计量与估计值2.点估计与区间估计3.置信水平和置信区间4.评价估计量的标准1.估计量：用于估计总体参数的统计量的名称。如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量2.参数用表示，估计量用表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值1.估计量与估计值(estimator&estimatedvalue)ˆ2.点估计与区间估计＃点估计：用样本的统计量值直接作为总体参数的估计值。例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计没有给出估计值接近总体参数程度的信息二战中的点估计案例2.点估计与区间估计区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的。区间估计的图示X95%的样本-1.96x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65x+1.65xXXzX21.将同种方法构造估计区间的步骤重复很多次，估计区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平。2.表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例3.常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.103.置信水平和置信区间置信水平1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间，统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间2.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个3.置信水平和置信区间置信区间3.置信水平和置信区间用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值，那么用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间。置信水平和置信区间的关系3.置信水平和置信区间(1-)%区间包含了%的区间未包含x1-/2/2xX置信水平和置信区间的关系3.置信水平和置信区间1.总体数据的离散程度，用来测度2.样本容量，3.置信水平(1-)，影响z的大小nX影响区间宽度的因素4.评价估计量的标准无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P()BA无偏有偏ˆˆ4.评价估计量的标准有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效AB的抽样分布的抽样分布1ˆ2ˆP()ˆˆ4.评价估计量的标准一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P()ˆˆ§7.2一个总体参数的区间估计1.总体均值的区间估计2.总体比例的区间估计3.总体方差的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差2XP2S总体均值的区间估计(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)1.总体均值的区间估计1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.使用正态分布统计量Ｚ3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1,0(~NnXZ)(22未知或nSzXnzX总体均值的区间估计(例题分析)【例7-1】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx该食品平均重量的置信区间为101.44克~109.28克36.105x总体均值的区间估计(例题分析)【例7-2】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计(例题分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为63.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁5.39x77.7s总体均值的区间估计(正态总体、２未知、小样本)总体均值的区间估计(小样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)未知小样本(n30)2.使用t分布统计量3.总体均值在1-置信水平下的置信区间为)1(~ntnSXtnStX2t分布分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布Xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)Z总体均值的区间估计(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~t(n-1)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为224.7714902.13116149013.21476.8,1503.2sxtn该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时1490x77.24s总体比例的区间估计1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量Ｚ)1,0(~)1(NnPZ3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为2(1-)PPPzn总体比例的区间估计(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96%35.74%,65.55%35.9%65100%)651%(6596.1%65)1(2nppzp该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%总体方差的区间估计总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差2的点估计量为S2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为1~1222nSn111122122222nSnnSn总体方差的区间估计(图示)221222总体方差1的置信区间自由度为n-1的2总体方差的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表7所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体方差的区间估计(例题分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根据样本数据计算得s2=93.212置信度为95%的置信区间为401.12)24()1(2975.0212n364.39)24()1(2025.022n39.18083.56401.1221.93125364.3921.9312522该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54克~13.43克