统计学第七章第八章课后题答案doc

1统计学复习笔记第七章参数估计一、思考题1．解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。2．简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。3．怎样理解置信区间在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。4．解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。1.估计总体均值时样本量n为2.样本量n与置信水平1-α、总体方差、估计误差E之间的关系为其中：2222)(Ezn2222)(EznnzE2nzE22与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。二、练习题1．从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。1)样本均值的抽样标准差等于多少？2)在95%的置信水平下，估计误差是多少？解：已知总体标准差σ=5，样本容量n=40，为大样本，样本均值x=25，（1）样本均值的抽样标准差xσ=nσ=405=0.7906（2）已知置信水平1－α=95%，得α/2Z=1.96，于是，允许误差是E=nα/2σZ=1.96×0.7906=1.5496。2．某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。2)在95%的置信水平下，求估计误差。3)如果样本均值为120元，求总体均值µ的95%的置信区间。解：（1）已假定总体标准差为σ=15元，则样本均值的抽样标准误差为xσ=nσ=4915=2.1429xxxx3（2）已知置信水平1－α=95%，得α/2Z=1.96，于是，允许误差是E=nα/2σZ=1.96×2.1429=4.2000。（3）已知样本均值为x=120元，置信水平1－α=95%，得α/2Z=1.96，这时总体均值的置信区间为nα/2σxZ=120±4.2=124.2115.8可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。3．从一个总体中随机抽取n=100的随机样本，得到=104560，假定总体标准差σ=85414，试构建总体均值µ的95%的置信区间。解：已知n=100，=104560，σ=85414，1-＝95%，由于是正态总体，且总体标准差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为104560±1.96×85414÷√100=104560±16741.1444．从总体中抽取一个n=100的简单随机样本，得到=81，s=12。要求：1）构建µ的90%的置信区间。2）构建µ的95%的置信区间。3）构建µ的99%的置信区间。解：由于是正态总体，但总体标准差未知。总体均值在1-置信水平下的置信区间公式为xxxx28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzxxx481±×12÷√100=81±×1.21）1-＝90%，1.65其置信区间为81±1.982）1-＝95%，其置信区间为81±2.3523)1-＝99%，2.58其置信区间为81±3.0965．利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。1）=25，σ=3.5，n=60，置信水平为95%2）=119，s=23.89，n=75，置信水平为98%3）=3.149，s=0.974，n=32，置信水平为90%解：∵∴1）1-＝95%，其置信区间为：25±1.96×3.5÷√60=25±0.8852）1-＝98%，则=0.02,/2=0.01,1-/2=0.99,查标准正态分布表,可知:2.33其置信区间为:119±2.33×23.89÷√75=119±6.3453)1-＝90%，1.65其置信区间为:3.149±1.65×0.974÷√32xxxxxx)(22未知或nszxnzx)(22未知或nszxnzx5=3.149±0.2846．利用下面的信息，构建总体均值µ的置信区间：1）总体服从正态分布，且已知σ=500，n=15，=8900，置信水平为95%。解：N=15，为小样本正态分布，但σ已知。则1-＝95%，。其置信区间公式为∴置信区间为：8900±1.96×500÷√15=（8646.7,9153.2）2）总体不服从正态分布，且已知σ=500，n=35，=8900，置信水平为95%。解：为大样本总体非正态分布，但σ已知。则1-＝95%，。其置信区间公式为∴置信区间为：8900±1.96×500÷√35=（8733.99066.1）3）总体不服从正态分布，σ未知，n=35，=8900，s=500，置信水平为90%。解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-＝90%，1.65。其置信区间为：8900±1.65×500÷√35=（87619039）4）总体不服从正态分布，σ未知，n=35，=8900，s=500，置信水平为99%。解：为大样本总体非正态分布，且σ未知，1-＝99%，2.58。28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzxxxxx28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzxxxxx6其置信区间为：8900±2.58×500÷√35=（8681.99118.1）7.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）：3.33.16.25.82.34.15.44.53.24.42.05.42.66.41.83.55.72.32.11.91.25.14.34.23.60.81.54.71.41.22.93.52.40.53.62.5求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。788.从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值分别为：10，8，12，15，6，13，5，11。求总体均值µ的95%置信区间。解：本题为一个小样本正态分布，σ未知。先求样本均值：=80÷8=10再求样本标准差：=√84/7=3.4641于是,的置信水平为的置信区间是,已知，n=8，则,α/2=0.025，查自由度为n-1=7的分布表得临界值2.45所以，置信区间为：10±2.45×3.4641÷√79.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离分别是：10，3，14，8，6，9，12，11，7，5，10，15，9，16，13，2。假设总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。910.从一批零件是随机抽取36个，测得其平均长度是149.5，标准差是1.93。2)求确定该种零件平均长度的95%的置信区间。3)在上面估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请解释。解：1）这是一个大样本分布。已知N=36，=149.5，S=1.93，1-α=0.95，。其置信区间为：149.5±1.96×1.93÷√362）中心极限定理论证：如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随机变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分xx10大的条件下，样本均值也趋近于正态分布，这为抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。11.某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100克，现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量如下：（略）已知食品包重服从正态分布，要求：1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。2）如果规定食品重量低于100克属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。1112.假设总体服从正态分布，利用下面的数据构建总体均值μ的99%的置信区间。12解：样本均值样本标准差：尽管总体服从正态分布，但是样本n=25是小样本，且总体标准差未知，应该用T统计量估计。1-α=0.99，则α=0.01,α/2=0.005，查自由度为n-1=24的分布表得临界值2.8的置信水平为的置信区间是,13.一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18个员工。得到他们每周加班的时间数据如下(单位：小时)：63218171220117902182516152916假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用t统计量xtsn1tn均值=13.56，样本标准差s=7.801置信区间：221,1ssxtnxtnnn1=0.90，n=18，21tn=0.0517t=1.736913221,1ssxtnxtnnn=7.8017.80113.561.7369,13.561.73691818=（10.36，16.75）14.利用下面的样本数据构建总体比例丌的置信区间：3）n=44，p=0.51，置信水平为99%4）n=300，p=0.82，置信水平为95%5）n=1150，p=0.48，置信水平为90%解：1）1-α=99%，α=0.01，α/2=0.005，1-α/2=0.995，查标准正态分布表，则2.582）1-＝95%，3）1-＝90%，1.65分别代入15.在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机，其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。已知样本容量n=200，为大样本，拥有该品牌电视机的家庭比率p=23%，拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差为pσ=(1)ppn=0.230.77200=2.98%⑴双侧置信水平为90%时，通过2β－1=0.90换算为单侧正态分布的置信水平β=0.95，查单侧正态分布表得α/2Z=1.64，此时的置信区间为(1)pppnα/2Z=23%±1.64×2.98%=27.