统计学第五章概率分布

概率与概率分布学习内容正态分布大数定律与中心极限定理离散型随机变量的数学期望在离散型随机变量X的一切可能取值的完备组中，各可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和描述离散型随机变量取值的集中程度计算公式为取无穷个值）取有限个值）XpxXEXpxXEiiiniii()(()(11离散型随机变量的方差随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为D(X)描述离散型随机变量取值的分散程度计算公式为122)()()]([)(iiipXExXDXXEXEXD是离散型随机变量，则若连续型随机变量的概率分布指数分布连续型随机变量的概率分布正态分布均匀分布其他分布概率密度函数设X为一连续型随机变量，x为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件1d)()2(0)()1(xxfxff(x)不是概率概率密度函数在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数x1x2，P(x1Xx2)是该曲线下从x1到x2的面积baxxfbXaPd)()(f(x)xab概率是曲线下的面积分布函数连续型随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示分布函数定义为)(d)()()(xxttfxXPxF根据分布函数，P(aXb)可以写为)()(d)()(aFbFxxfbXaPba分布函数与密度函数的图示密度函数曲线下的面积等于1分布函数是曲线下小于x0的面积f(x)xx0F(x0)连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的数学期望为方差为性质：D(αX)=α2D(X)xxxfXEd)()(22d)()()(xxfXExXD2121XEXEXXE正态分布的重要性描述连续型随机变量的最重要的分布经典统计推断的基础xf(x)概率密度函数xxfx,e21)(2221f(x)=随机变量X的频数=总体方差=3.14159;e=2.71828x=随机变量的取值(-x)=总体均值正态分布函数的性质概率密度函数在x轴的上方，即f(x)0正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位数和众数正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过均值的标准差来区分。决定曲线的高度，同时决定曲线的平缓程度，即宽度曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交正态曲线下的总面积等于1和对正态曲线的影响xf(x)CAB正态分布的概率概率是曲线下的面积!abxf(x)?d)()(baxxfbxaP标准正态分布函数xxfx22eπ21)(标准正态分布的概率密度函数任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布)1,0(~NXZ标准正态分布的分布函数xtxttxfxde21d)()(2-2标准正态分布表的使用将一个一般的转换为标准正态分布计算概率时，查标准正态概率分布表对于负的x，可由(-x)x得到对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有P(aXb)baP(|X|a)2a1对于一般正态分布，即X~N(,)，有abbXaP)(标准化的例子P(2.9X7.1)5=102.97.1X一般正态分布21.1051.721.1059.2XZXZ0=1-.21Z.21.1664.0832.0832标准正态分布正态分布（实例）【例】设X~N(0，1)，求以下概率：(1)P(X1.5)；(2)P(X2)；(3)P(-1X3)；(4)P(|X|2)解：(1)P(X1.5)=(1.5)=1-0.0668=0.9332(2)P(X2)=1-P(X2)=1-0.9973=0.0228(3)P(-1X3)=P(X3)-P(X-1)=(3)-(-1)=(3)–[1-(1)]=0.9987-(1-0.8413)=0.8354(4)P(|X|2)=P(-2X|2)=(2)-(-2)=(2)-[1-(2)]=2(2)-1=0.9544正态分布（实例）【例】设X~N(5，32)，求以下概率(1)P(X10)；(2)P(2X10)解：(1)9525.0)67.1(67.135351035)10(XPXPXP(2)7938.0)1()67.1(67.1351351035352)102(XPXPXP大数定理与中心极限定理大数定理11lim1niinXnp1limpnmpn当样本容量n充分大时，可以用样本平均估计总体平均。当试验次数n充分大时,可以用频率代替概率。大数定理的意义：个别现象受偶然因素影响，但是，对总体的大量观察后进行平均，就能使偶然因素的影响相互抵消，从而使总体平均数稳定下来，反映出事物变化的一般规律，这就是大数定理的意义。中心极限定理正态分布的再生定理：相互独立的两个正态随机变量相加之和仍服从正态分布。中心极限定理：大样本的平均数近似服从正态分布。nNX2,~中心极限定理（图示）当样本容量足够大时(n30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布xn中心极限定理：从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体xX例题某地区职工家庭的人均年收入平均为12000元，标准差为2000元。若知该地区家庭的人均年收入服从正态分布，现采用重复抽样从总体中随机抽取25户进行调查，问出现样本平均数等于或超过12500元的可能性有多大？例题某车间有200台机床，它们独立工作着，开工率各为0.6，开工时耗电各为1kw，问供电所至少要供给这个车间多少电，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？