计算机控制系统(天津大学自动化学院研究生课件)第三章

三计算机控制系统的分析何熠计算机控制系统分析•本章结构•S平面与z平面的映射关系•3.１稳定性分析•3.２稳态性能分析•3.３动态性能分析•3.４Z平面内根轨迹分析计算机控制系统分析•计算机控制系统时域响应的性能指标：与连续系统类似，通常用下述三个方面的性能表示：1，稳定性分析；2，稳态性能，主要指稳态误差；3，动态性能，指系统的上升时间、延迟时间、峰值时间、超调量、调节时间。z平面内闭环系统稳定性分析•3.1z平面内闭环系统稳定性分析•考虑下面线性时不变离散时间控制系统的闭环脉冲传递函数：•离散系统的稳定性可由Z平面闭环极点特征方程的根确定。()1()0PzGHz=+=()00111=++++=Δ−−azazazznnnL()()()1()CzGzRzGHz=+•根据S平面和Z平面的映射关系，离散系统稳定的充要条件必然是：•系统的特征根全部位于Z平面的单位圆中。•若系统只有一个闭环极点或者一对共轭复极点位于单位圆上，系统处于临界稳定。如果有任何z平面单位圆外的闭环极点或有任何多重单位圆上的闭环极点，那么线性时不变离散时间闭环控制系统不稳定。•闭环零点不影响系统的绝对稳定性z平面内闭环系统稳定性分析计算机控制系统分析对于高阶系统而言，求出全部的特征根的具体数值是很困难的，所以我们可以通过特征方程的系数来验证特征根的位置，由此简化了问题。在本小节中我们主要针对以下三种方法进行讨论•3.1.1Jury稳定性检验方法•3.1.2修正的劳斯检验方法•3.1.2Schur-Cohn稳定性检验方法2012()(0)nnnDzaazazaza=++++L0121012112100121123100122234200123321001221012345625242322njnnnjnnnnnjnjnnnnjnjnnnnjzzzzzzaaaaaaaaaaaabbbbbbbbbbccccccccccnppppnppppnqqqnqqq−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−LLLLLLLLLLLLLLLLLLLMMMMMM行数朱利稳定判据--——避免直接解根，由D(z)判定系统稳定性。设闭环系统特征根为：列朱利矩阵：0010212,,njnjnjjjjnjnjnjaabbccbcdaabbcc−−−−−−−===L030300ppqp=02131ppqpp=01232ppqpp=元素定义：，，系统稳定充要条件：00102020,(1)0,(1)0,nnnnDDnaabbccqq−−⎧⎧−⎨⎪⎩⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎩M为偶数时；为奇数时。共(n-1)个约束条件检验稳定性的方法•3.1.2修正的劳斯判据（w变换与劳斯稳定判据的结合）检验方法：•修正的劳斯判据，其基本思想！！•在Z平面内，劳斯判据是不能直接应用到判定系统的稳定性中，如果将Z平面再复原到S平面，则系统方程中又将出现超越函数。••所以我们想法再寻找一种新的变换，使Z平面的单位圆内映射到一个新的平面的虚轴之左。此新的平面我们称为W平面，在此平面上，我们就可直接应用劳斯稳定判据了。检验稳定性的方法•分析过程：•利用双线性变换，将系统的特征方程由z平面转换到w平面，从而可以利用连续系统的劳斯判据进行稳定性判别。•由此得写做复变量的形式•代入得到：11−+=zzw11−+=wwzjvuwjyxz+=+=[][]222222222222(1)(1)11(1)1212(1)(1)(1)xjyxjyxjywujvxjyxyxyjyxyyjxyxyxy++−−++=+==+−−++−−+−==−−+−+−+检验稳定性的方法•W平面的实部为•W平面的虚轴对应于ｕ＝０，则有•右图为Ｗ平面与Ｚ平面的对应关系：Ｗ平面虚轴以左对应Ｚ平面单位圆内Ｗ平面虚轴以右对应Ｚ平面单位圆外2222)1(1yxyxu+−−+=0122=−+yx检验稳定性的方法利用上述变换，可以将特征方程转换成0)(=zD0)(=wD然后就可直接应用连续系统中所介绍的劳斯稳定判据来判别离散系统的稳定性。该方法需要进行从z平面到w平面的变换，简单而直接，但计算量要比Jury方法大。•［例3－2］设离散系统的特征方程为:•试用平面的劳斯判据判别稳定性。•解：将•代入特征方程得•两边乘，化简后得03911911745)(23=−+−=zzzzDw11−+=wwz0391111911117114523=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+wwwwww04022)(23=+++=wwwwD检验稳定性的方法•由劳斯表•因为第一列元素有两次符号改变，所以系统不稳定。正如连续系统中介绍的那样，劳斯判据还可以判断出有多少个根在右半平面。本例有两次符号改变，即有两个根在右半平面，也即有两个根在平面的单位圆外，这是劳斯判据的优点之一。检验稳定性的方法检验稳定性的方法3.1.3Schur-Cohn稳定性检验方法:•设离散系统的闭环特征方程：•定义行列式如下：•舒尔稳定判据：闭环特征根在单位圆内的个数等于符号变化的次数。离散系统稳定的充分必要条件是符号变化次数等于系统的阶次n。即()11100nnnnzazazaza−−Δ=++++=L检验稳定性的方法舒尔判据不仅能判别系统是否稳定，而且能指出有多少特征根位于单位圆内，单位圆外的不稳定特征根的个数等于系统阶次与单位圆内的特征根的个数之差。•[例3-3]，已知离散系统的开环Z传递函数为判别闭环系统的稳定性。•解：闭环系统的特征方程为检验稳定性的方法•可见，满足系统稳定的充分必要条件，所以系统稳定。•多项式方程只含有实系数时，Jury方法所需的计算量要比Schur-Cohn方法小得多。由于物理可实现系统的特征方程系数总是实的，因此采用Jury方法更简便。离散系统的稳定性判据(1)§6.5.3离散系统的稳定判据（1）w变换及w域的劳斯稳定判裾w变换⎪⎩⎪⎨⎧−+=−+=1111zzwwwz⎪⎩⎪⎨⎧+−=−+=1111zzwwwz⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+−⋅=−+=1122121zzTwwTwTzjyxjyxzzw+−++=−+=1111设yjxz+=vjuw+=0)1(102222=+−−+==yxyxu[w]虚轴[z]单位圆122=+⇒yxjvuyxxyjyx+=+−++−=2222)1(21⎩⎨⎧+1122yx对应w平面⎩⎨⎧00uuz平面单位圆内外的点离散系统的稳定性判据(2)例１已知离散系统特征方程，判定系统稳定性。03911911745)(23=−+−=zzzzD(1)w域中的劳斯稳定判据系统不稳定)1()1(−+=wwz039)11(119)11(117)11(4523=−−++−+−−+=wwwwww)1()1(117)1(45)(23−+−+=wwwwD0)1(39)1)(1(11932=−−−++www04022)(3=+++=wwwwDRouth0123wwww1224018−40离散系统的稳定性判据(3)例2已知离散系统特征方程，判定系统稳定性。04511711939)(32=+−+−=zzzzD(2)z域中的朱利(Jurry)稳定判据Jurry084511711939)1(=+−+−=D03204511711939)1(−=−−−−=−D50439-454539−=−6241194511739=−−792117-4511939−=−504−624792−系统不稳定0z1z2z3z39−119117-4545117-11939-1234离散系统的稳定性判据(4)例3已知离散系统特征方程，判定系统稳定性。0368.14.008.0002.0)(432=+−++=zzzzzD0.00211.0020系统稳定0114.01368.14.008.0002.0)1(=+−++=D069.21368.14.008.0002.0)1(=+++−=−DJurry0z1z2z3z4z002.00.081.368-10.4002.00.081.368-10.40.081368.1.0020−0.414.0.00201.368-108.0.00200827.0−399.0−368.11−368.10827.0399.01−−−399.00827.0368.11−−−512.0401.1993.01−=368.1=399.0−=0827.0−=993.0=1-0827.00827.01−−−401.1=512.0=123456离散系统的稳定性判据(5)例4离散系统结构图如图所示，T=1,求使系统稳定的K值范围。⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅−=−)1(1)(ssKseZzGTs解法I—w域中的Routh判据⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅−=−)1(1)1(21ssZKz⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−⋅−=1111)1(2sssZzKz⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−−⋅−=−TezzzzzTzzKz1)1()1(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−++−=−−−−))(1()1()1(TTTTezzTeezeTK)368.0)(1()718.0(368.01−−+==zzzKT)368.0264.0()368.1368.0()718.0(368.0)(1)()(2++−++=+=ΦKzKzzKzGzGz离散系统的稳定性判据(6))368.0264.0()368.1368.0()718.0(368.0)(1)()(2++−++=+=ΦKzKzzKzGzGz0)368.0264.0()368.1368.0()(2=++−+=KzKzzD11−+=wwz0)368.0264.0()11)(368.1368.0()11(2=++−+−+−+=KwwKww0)1)(368.0264.0()1)(1)(368.1368.0()1(22=−++−+−++wKwwKw0)104.0736.2()528.0264.1(632.0)(2=−+−+=KwKKwwD0K0528.0264.1−K0104.0736.2−K0K394.2K3.26K394.20K离散系统的稳定性判据(7)解法II—z域中的朱利(Jurry)稳定判据)718.0(368.0)368.0)(1()(++−−=zKzzzD)(1)()(zGzGz+=Φ)718.0(368.0)368.0)(1()718.0(368.0++−−+=zKzzzK0)368.0264.0()368.1368.0(2=++−+=KzKzJurry0632.0)1(=KDKD368.0282.0368.12)1(×−×=−01038.0736.2−=K1368.0264.0+K0K394.2264.0368.01=−K36.261038.0736.2=K394.20K离散系统的稳定性判据(8)例4系统结构图如图所示,T=0.25,求使系统稳定的K值范围。⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅−=−−sKeseZzGTsTs21)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅−=−−2211)1(sZzzK23)1()1(−⋅−=zTzzzK)1(2−=zzKTKTzzKTzGzGz+−=+=Φ)1()(1)()(20)1()(232=+−=+−=KTzzKTzzzD离散系统的稳定性判据(9)0)1()(232=+−=+−=KTzzKTzzzD1)(2−KT1KT−1)(2−KT1KT−KT01-111-0KTJurry0z1z2z3z1234KTKT−2)(11KT4125.0==TTK01)(2−+KTKT⎩⎨⎧−=±−=618.0618.1251KT0)1(=KTD0⇒K02)1(+−=−KTD825.022==⇒TK618.0618.1−KT472.2427.6−K472.20K①②③④3.2稳态性能分析•这节中，我们将分析离散的计算机控制系统，在不同输入作用下的稳态性能。稳态性能分析对于如下图所示的单位反馈的闭环离散系统的误差脉冲传递函数Ge（Z）为G（s）r(t)y(t)e*(t)-Ge(Z)=)(11zG+(3-1)所以E(Z)=R(Z))(11zG+由终值定理，有1