统计第四章习题(完整)

1.什么是样本统计量？它与总体参数有什么区别和联系？P66答：（1）样本统计量是样本的函数，对于不同的样本，统计量的取值往往是不同的。可见，样本统计量是随机变量，它是随机变量就应该具有相应的概率分布。抽样分布就是样本统计量的概率分布，一个样本可以构造出许多统计量。（2）总体参数是总体特征的反映，通常它是未知的，是常量，需要通过样本统计量来估计推断。2.为什么当总体单位数很大时，不重置抽样分布就趋近于重置抽样分布？答：当N趋近无穷大时，对于不重置抽样有:22nXXlim=1nnNn，n(1)(1)lim=1pPPnPPnNnμ所以当总体单位数很大时，不重置抽样分布就趋近于重置抽样分布。3.随机变量有哪些类型？P60第二段答：如果随机变量X的所有可能取值都可以按一定顺序一一列举出来，则称X为离散型随机变量；如果随机变量X的所有可能取值是充满某一区间，无法按顺序一一列举出来，则称X为连续型随机变量。4.什么是离散型随机变量的概率分布？答：对于离散型随机变量X，我们将它的可能取值及其相应的概率按顺序排列起来，就得到X的概率分布情况。如果将它列示在一张表上，这张表则称为离散型随机变量X的概率分布表（表4-1）表4-1X的概率分布表XX１X2……Xi……XnPP1P2……Pi……Pn5.什么是连续型随机变量的概率分布函数和分布密度？它们之间有什么关系？P62答：对于随机变量x,如果存在非负可积函数f(x)，),(x，使得对任意实数x，有xdttfxF)()(则称x为连续型随机变量,称f(x)为x的概率密度函数，简称为概率密度。6.离散型随机变量的数学期望如何计算？它和算术平均数有何区别？P64答：设随机变量的概率分布为：XX1X2…Xi…XNPP1P2…Pi…PN随机变量X的数学期望E(X)为：E(X)=X1P1+X2P2+…+XiPi+…+XNPN由此可见，数学期望实质上是随机变量的加权平均数。它和算术平均数的区别：算术平均数是简单的把所有数加起来然后除以个数，而加权平均数是把所有数乘以权值再相加,最后除以总权值。7.随机变量的数学期望、方差和标准差如何计算？P64-65答：离散型：N1iiinn2211PXPXPXPXXEPXEXXN1ii2i2N1ii2iPXEXX连续型：21xxdxxfEXdxxfXExX22dxxfXExX28.假定10亿人口的大国和100万人口的小国的居民年龄变异程度相同。现在各自用重置抽样的方法抽取本国10万人口计算平均年龄，问两国平均年龄的抽样平均误差是否相同？如不相同，那个国家比较大？若各自用同样的方法抽取本国1%的人口计算平均年龄，抽样平均误差又将如何？解：重置抽样的抽样平均误差公式为：nX2）（，又因为两国的居民年龄变异程度相同，所以其总体平均数与样本平均数相等。第一问：因为抽取的人数一样，样本平均数也相等，所以，两国平均年龄的抽样平均误差相同；第二问：因为使用重置抽样的方法各种抽取1%的人口进行计算，所以两国抽取的人口数为1000万,1万，由于大国的人数多，n就大，所以μ就小，而小国的μ就会比较大。9.正态分布的两个参数均值和标准差对分布器什么作用？书本P73页（简单来说，均值决定正态分布函数图对称轴的位置，标准差为形状参数）10.正态分布为什么要标准化？如何标准化？因为对任一正态分布求定积分，会比较困难，所以我们选择将其变换为标准正态分布，在进行计算如何标准化：书本P74页11.理解正态分布在上定理和中心极限定理对抽样估计的重要意义。书本P77-79页，相关定理加例题12.已知随机变量X的概率分布如下：X01Ppq问p值为多少时，才能使X的方差和标准差最大？其最大值为多少？解：离散型随机变量的方差和标准差分别为：iN1i2ii2N1ii2PXE-xXPXE-xX））（（）（））（（）（所以，其期望值E（X）为：E(X)=0×p+1×q=q方差为：qq-1pq-0X)222）（）（（，标准差为：qq-1pq-0X22）（）（）（，用p表示q，为一个一元二次函数，p-pX22）（要使方差和标准差同时达到最大，只需令p=0.5，q=0.5即可，此时，）（X20.25，）（X0.513.已知变量X~N（4,9），求：（1）概率P（4≤X9.88）;(2)概率P（X9.88）解：因为x_=4，σ=3，设34-XZ_XX，(1)P（4≤X9.88）=)96.10(3488.9Z0PZP）（=0.5F(1.96)=0.4750(2)P(X9.88)=P(Z1.96)=0.5-0.5F(1.96)0.025014.设）（2_,N~XX，求)33(__XXXP3σ原则：P（μ-σX≤μ+σ）=68.3%P（μ-2σX≤μ+2σ）=95.4%P（μ-3σX≤μ+3σ）=99.7%,所以此题答案为99.7%15.设）（25,40N~X，且已知P（Xa）=0.0150，求a解：因为5,40_X，设540-XZ_XX，所以0150.0540ZP）（a查表求出Z，然后就可求a了16.某大学生的体重X千克服从）（22,58N的正态分布，求男生体重在下列情况下得概率：（1）55千克-60千克；（2）超过60千克；（3）低于50千克；解:2,58_X，设258-XZ_XX，(1)）（258-60Z258-55P60)XP(55=P（-1.5≤Z≤1）=0.5（F（1.5）+F(1)）=0.77455(2)P(X60)=P(Z1)=0.5-0.5F(1)=0.15865(3)P(X50)=P(Z-4)=0.5-0.5F(4)=0.0000317.某零件的长度服从期望为50厘米，方差为0.5625的正态分布。企业规定长度在50±1.2厘米之间的零件为合格品，求该零件的合格品率。解：8904.01-6.126.1--6.175.02.1-75.02.15625.0502.1505625.0502.1501.2}-50≤P{X-1.2}+50P{X1.2}+50X1.2-P{50）0.5625，50（N~X∵18.某工厂生产的电子管寿命X服从期望值1600小时，方差为^2的正态分布。若要求1202000.08Px，则标准差最大为多少？解：电子管寿命X服从N（160，2），为一般正态分布，经过标准化成为标准正态分布，即X-160(0,1)，由此，120200Px=120160160200160XP=4016040XP=16040XP而16040XP=240()-1，因此，如果1202000.08Px，要求240()-10.08，计算得40()0.54，查表，概率0.54对应的分位数为0.1004，即（0.1004）=0.54,所以，只要满足400.1004，计算得398.406，即允许的的最大值。19.一本书排版后一校时出现错误处数X服从正态分布N(200，400)，求：(1)出现错误处数不超过230的概率；(2)出现错误处数在190~210的概率。解：已知X~N（200，202），则（1）P（X≤230）=Φ（(230-200)/200）=Φ（1.5）=0.9332（2）P（190＜X＜210）＝Φ（-10/20）-Φ（10/20）＝0.38220.某市居民家庭人均年收入服从6000X元,=1200元的正态分布。求该市居民家庭人均年收入：（1）在5000—7000元之间的概率；（2）超过8000元的概率；（3）低于3000元的概率。解：(1)P(5000X7000)P()500060007000600012001200X1511()10.90510.04745232F(2)P(X8000)P()()80006000512003ZPZ1511()10.90510.04745232F(3)P(X3000)P()(2.5)300060001200ZPZ111(2.5)10.98760.006222F21.本期全体“托福”考生的平均成绩为580分，标准差为150分，现在随机抽取100名考生的成绩，估计样本平均成绩在560~600分的概率是多少？样本平均成绩在610分以上的概率是多少？