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四计算机控制系统的设计方法何熠计算机控制系统的设计方法在本章中，将介绍以下四种控制器的设计方法•４.１最少拍数字控制器的设计方法•４.２Z平面内根轨迹的设计方法•４.３变换及频率响应设计方法•４.4数字PID算法的改进'W４.１数字控制器的离散化设计方法4.1.1最少拍无差系统的设计4.1.2快速有纹波无差最少拍系统的设计4.1.3快速无纹波无差最少拍系统的设计D(z)G(z)4.1.1最少拍无差系统的设计R(t)Y(t)-图4-1数字控制系统结构对于如图4-1所示的系统、闭环脉冲传递函数可求得为系统的闭环传递函数为由此推出，控制器为()()()1()()BDzGzGzDzGz=+()()()[1()]BBGzDzGzGz=−但是，必须注意，设计出的系统为最小拍无差的前提条件是：G(z)的零点和极点必须都在单位圆内。而且，设计的数字控制器D(z)，还必须满足物理可实现条件：数字控制器D(z)分子多项式的阶次不得大于分母多项式的阶次；D(z)没有单位圆上和单位圆外的极点。最少拍无差系统的设计由于系统误差脉冲传递函数Ge(z)与闭环脉冲传递函数GB(z)存在以下关系:Ge(z)=1-GB(z)最少拍无差系统的设计E(z)=[1-GB(z)]R(z)根据终值定理e(∞)=(1-z–1)[1-GB(z)]1lim→z()Rz当时，其中是不含因子的关于的多项式所以，2012()...rtAAtAt=+++1()()(1)qBzRzz−=−()Bz1z−11z−−11e()=lim(1)()()ezzGzRz−→∞−最少拍无差系统的设计可令是待定系数的关于的多项式。因为所以，可令则要使控制器的形式最简单，阶数最低，取所以，为了设计最少拍无差系统，令：1()(1)()peGzzFz−=−qp=1z−()Fz1()(1)()qeGzzFz−=−()1Fz=1()(1)qeGzz−=−1()1(1)qBGzz−=−−1111()e()=lim(1)(1)()(1)pqzBzzzFzz−−−→∞−−−4.1.2典型输入下最少拍系统的设计1）阶跃输入保证系统为无差的最少拍系统，可令因为则，GB(z)=z–1E(Z)=R(Z)Ge(Z)=111()(1)RZz−=−1123B1()()G(z)....(1)zYZRZzzzz−−−−−===+++−Ge(z)=(1-z–1)最少拍无差系统的设计tC*(t)T02T05T0于是，可求数字控制器D(z)D(z)=)()1(1zGz−按上式选择D(z)，可使系统为最少拍无差的响应系统，由于跟踪输入，所以系统在一拍内可结束过渡过程，达到稳态。()1,()最少拍无差系统的设计EZYZ=2）斜坡输入此时，为使系统为无稳态误差的最少拍系统，可选取则12221()2BzGzzzz−−−=−=于是，可求得数字控制器2121)1)((2)(−−−−−=zzGzzzD最少拍无差系统的设计112112()()Ge(z)(1-2)(1)TzEZRZzzTzz−−−−−==+=−234B()()G(z)234....YZRZTzTzTz−−−==+++因为所以，系统在两拍内可结束过渡过程，达到稳态。1()EZTz−=12()(1)eGzz−=−T04T0tC*(t)3）抛物线输入为保证系统为无稳态误差的最少拍系统，可选取则于是，1231333()()(1)zzzDzGzz−−−−−+=−最少拍无差系统的设计212211()()Ge(z)22EZRZTzTz−−==+211123B13(1)()()G(z)(33)2(1)TzzYZRZzzzz−−−−−−+==−+−13()(1)eGzz−=−123()33BGzzzz−−−=−+因为所以，系统在三拍内可结束过渡过程，达到稳态。212211()22EZTzTz−−=+T03T0tC*(t)图4-2绘制的曲线分别是单位阶跃、单位斜坡、抛物线输入时，其输出响应为无稳态误差的最少拍系统。y*(t)T2T3Tty*(t)y*(t)ttT2T3TT2T3Ta单位阶跃输入b斜坡输入c抛物线输入图4-2无稳态误差最少拍响应最少拍无差系统的设计典型输入闭环脉冲传递函数数字控制器D(z)最少拍（T）1(t)1Tt2Tt23T112(1)Tzz−−−1最少拍无差系统的设计z−122zz−−−12333zzz−−−−+111z−−21113(1)(1)Tzzz−−−+−1231333()(1)zzzGzz−−−−−+−1122(2)()(1)zzGzz−−−−−11()(1)zGzz−−−例例44--11sTsssGsesGoTsh5.0;)15.0(4)(;1)(=+=−=−试求在单位阶跃信号作用下最少拍系统的试求在单位阶跃信号作用下最少拍系统的DD（（ZZ）。）。)(sR)(sE)(sC)(sG+−)(sGh)(sDTT设单位计算机控制系统的框图如下：设单位计算机控制系统的框图如下：解：解：[])368.01)(1()717.01(736.0)()()(1111−−−−−−+==zzzzsGsGZzGoh1212()(1)()1()2eBeGzzGzGzzz−−−=−=−=−输入信号为单位斜坡信号输入信号为单位斜坡信号,,所以所以11111()2.717(10.368)(10.5)()()()(1)(10.717)eeGzzzDzGzGzzz−−−−−−−==−+加入校正装置后加入校正装置后,,最少拍系统的开环脉冲传递函数最少拍系统的开环脉冲传递函数2111)1()5.01(2)()(−−−−−=zzzzGzD12()2BGzzz−−=−系统的闭环脉冲传递函数系统的闭环脉冲传递函数tC*(t)T2T5T调整时间调整时间::两拍两拍超调量超调量:100%:100%1211231()()()(2)12BnCzRzGzzzzzzzz−−−−−−−==−−=+++++LL若输入信号不是单位斜坡信号若输入信号不是单位斜坡信号,,而是单位阶跃而是单位阶跃信号信号,,系统的输出信号的系统的输出信号的ZZ变换为变换为::最少拍系统的局限性最少拍系统的局限性22、根据一种典型信号进行校正而得到的最少拍系、根据一种典型信号进行校正而得到的最少拍系统，往往不能很好适用其它形式的输入信号。统，往往不能很好适用其它形式的输入信号。11、当、当GG（（ZZ）含有单位圆上或单位圆外的零点、）含有单位圆上或单位圆外的零点、极点时不能直接应用。极点时不能直接应用。1，次数较低时，表现出超调量和上升时间较大；2，次数较高时，稳态误差大；所以只能适用于一种特定的输入，而不适用于各种输入。()Rz()Rz()BGz4.2.2有纹波无差最少拍系统的设计前边提到了设计最少拍无差系统的前提条件是G(z)的零点和极点必须都在单位圆内。那么，在不满足这个前提条件时，即G(z)具有单位圆上和单位圆外零极点的情况时，该如何设计控制器呢？可知，它必将成为数字控制器的极点，D(Z)将不稳定，其物理实现不可能。()D(z)=()()BeGzGzGz当开环脉冲传递函数G(z)有单位圆上或单位圆外零点时，由式为此，在设计有纹波无差系统的D(z)时，令1，GB(z)包含z–1因子。2，GB(z)包含开环脉冲传递函数G(z)在单位圆上和单位圆外的零点。为了对消G(z)不稳定的零点。3，Ge(z)包含开环脉冲传递函数G(z)在单位圆上和单位圆外的极点。为了对消G(z)不稳定的极点。其形式可以表示为：然后由关系式，求解有关待定系数，最后选定和。BeG(z)=1-G(z)eG(z)BG(z)-1ei11G(z)=[(1-az)]F(z)vi=∏-1Bi2121G(z)=[(1-bz)]F(z)F(z)F(z)ui=∏、-1是待定系数的关于Z的多项式，u是不稳定的零点数，v是不稳定的极点数例[4-2]，已知离散系统结构如图4-3所示，采样周期T=0.2秒，求D(z)，使系统对单位阶跃响应为最少拍响应系统)(zDseTs−−1)105.0)(11.0(10++sssr(t)y(t)—图4-3最少拍响应系统解：求开环脉冲传递函数G(z)G(z)=Z[]=zz1−1111110.76(10.05)(11.065)(1)(10.135)(10.0185)zzzzzz−−−−−−++−−−)05.01)(1.01(102sss++E1(z)E2(z)开环脉冲传递函数有一单位圆外的零点0=-1.065z为此，令为了使系统结构简单，设且系统无不稳定极点则，因为系统为阶跃输入，所以中要加上即：11B1G(z)=(11.065)bzz−−+-11ei111G(z)[(1-az)]F(z)=(1)viaz−==∏+111()(1)Fzaz−=+11e1G(z)=(1)(1)由关系式GB(z)=1-Ge(z)zaz−−−+1(1)z−−eG(z)11211121)1(065.1−−−−−+=+zazazbzb11065.1ba=111ba=−516.01=a484.01=b得所以11BG(z)=0.484(11.065)zz−−+11eG(z)=(1)(10.516)zz−−−+于是，求得的数字控制器D(Z)为1111()0.636(10.0185)(10.135)D(z)=()()(10.05)(10.516)BeGzzzGzGzzz−−−−−−=++系统的单位阶跃响应输出为此时系统经过2拍达到稳定。由此可见，在G(z)包含不稳定的零点时，控制器D(z)依然使系统达到了稳定。111210.484(11.065)Y(z)=0.484....1zzzzz−−−−−+=++−1E(z)=1+0.516z−1112210.636(10.0185)(10.135)E(z)=0.5760.243...(10.05)zzzzz−−−−−−−=−++然而所以系统有纹波存在。当G(z)包含不稳定的极点的情况，与例4-1中使用的方法相同，只要满足有纹波无差系统D(z)的三个条件即可，所以不在这里重复！在这里，我们所设计的控制器是有纹波的，所谓纹波就是说系统输出在采样时刻已达到稳态，而在两个采样时刻间输出在变化，如下图所示•故上述两种最少拍无差系统只具有理论意义，并不实用！0T2T3T4Tty(t)4.2.3快速无纹波无差最少拍系统的设计上两节中，我们所设计的控制器都是有纹波的，现在，我们分析无纹波数字控制器的设计方法。举例说明纹波产生的原因。系统结构如图4-4所示，输入为阶跃。)(zDseTs−−1)1(10+ssE1(z)y(t)图4-4一个实际的数字控制系统E2(z)r(t)11113.68(10.718)G(z)=(1)(10.368)zzzz−−−−+−−11110.543(10.5)(10.368)D(z)=(1)(10.718)zzzz−−−−−−−+则数字控制器D(z)的输出不是含z-1的有限多项式，即111211112340.653(10.5)(10.368)()()()(1)(10.718)0.5430.3190.390.119...zzEzDzEzzzzzzzz−−−−−−−−−−−==−+=−+−+—产生纹波就是因为e2(nT)并不是常值脉冲，而是围绕平均值上下波动。为了消除输出波纹，需要满足条件：E2(z)为含z-1的有限多项式，或e2(nT)是常值脉冲。•因为的零点可以完全对消R(z)的极点。为了消除纹波，只要求为含有限多项式。又因为，而且G(z)的极点不会妨碍成为含有限多项式，只有G(z)的零点有可能使成为含的无限多项式。•结论：为了满足消除输出纹波的条件，必须包含G(z)的全部零点。——这也是有纹波和无纹波设计的不同之处。21()()()()()()eEzDzEzDzGzRz==()D(z)()=()BeGzGzGz()()eDzGz1z−1z−()BGz()()eDzGz1z−()eGz()()eDzGz[例4-3]已知离散系统结构如图4-5所示，采样周期T=1，求数字控制器D(z)，使系统对单位阶跃输入为无纹波无差的最少拍系统)(zDseTs−−110(0.1