论高等数学中的反例

第1页（共13页）论高等数学中的反例摘要高等数学是培养学生抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，而重视和恰当的使用反例可以有效的帮助学生学习高等数学。因此，本文主要对高等数学中的反例进行了一定程度的探究，论述了反例的来源和构造，围绕高等数学中一些典型的反例进行分析，详细说明了反例在高等数学学习中的重要作用及应用，为学生学习高等数学提供了一种辅助方法。关键词高等数学，数学研究，反例.AbstractThehighermathsisanimportantcurriculumoftrainingstudents’abstractincludingcapability、logicideationcapability、operationcapabilityandspacefancycapability,moreoveritisattachingimportanttoandusingcontrarycasesthatcaneffectivelyhelpstudentsstudyhighermathematics.Hence,Thispaperholdsanexplorationonoppositecasebyfocusingonthefunctionsandapplicationofconstructingcontrarycasesinhighermathsstudying.itisclaimedthatconstructingcontrarycasesisaneffectiveaidtohighermathematicsstudying.KeyWordshighermathematics,mathematicsresearch,contrarycases0前言“以例外证明规律”，这是一句人所共知的格言。通常一个例外足以反驳任何自封为规律或普遍性的命题。否定这类命题最常用、而且最好的方法就是举出一个和它不一致的对象，这种对象通常称之为反例。数学中的反例通常是指符合某个命题的条件，但又与该命题结论相矛盾的例子，也即指出某命题不成立的例子。在数学的发展史中，反例和证明有着同等重要的地位。一个正确的数学命题需要严密的证明，谬误则靠反例即可否定。最简单而最优秀的反例莫过于欧拉发表的世界上最短的一篇数学论文：6700417641429496729712123225它推翻了独步数坛百余年的费马猜想：“n为非负整数时，一切形如122n的数是素数。”第2页（共13页）而我们知道，高等数学是培养学生抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，也是学生进入大学后第一门重要的基础课，在大学学习中占有及其重要的地位。但是由于其内容的高度抽象与概括性，严密的逻辑性，独特的“公式语言”，简练的表达方式，高等数学常常成为大学生入学学习的第一个难关。如何帮助学生度过这一难关，学好高等数学？首要问题是帮助，促使学生掌握好基本概念和基本性质。解决这一问题的有效方式之一，是重视和恰当的使用反例。因此，在高等数学的学习中，反例有着极为重要的意义，举反例的方法在大学数学学习中应经常为同学们所用，它会使同学们对概念、定理、公式的理解更全面、透彻，它在发现和认识数学真理，强化数学基础的理解和掌握，以及培养学生的思维能力和创造能力等方面的意义和作用是不可低估的。1本论下面就从反例的来源与构造，反例在高等数学学习中的作用两个方面进行分析。1．1反例的来源与构造对于数学学科，证明一个猜想是真实的，必须经过严格的推理论证；证明一个猜想是假的，只须找到猜想命题的反例。在数学学习中，出现了这样一种现象，教师为了说明一个命题为假命题，举出一个反例，说明反例虽然满足命题的条件，却无命题的结论，但反例怎样得到呢？教师很少分析甚至不做分析。学生感到老师确实高明，从肚子里能掏出一个一个非常具有说服力的反例，就象舞台上的魔术师，能从帽子里掏出一个又一个白鸽，虽然非常精彩，却是观众学不会的。与获得证明的方法一样，反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动，其方法包括：观察与实验、归纳、分析与综合、概括与抽象等，反例决不能凭空得到。1.1.1从定义入手获得反例概念是数学学科的细胞，是反映事物本质的思维形式。在逻辑学中，定义是明确概念内涵的逻辑方法。在数学问题中，若首先给出一个概念的定义，然后判断一个猜想是否正确，则反例的获得常常需要从定义入手。例1[2002年上海市高考（理工农医）数学试卷第22题第（2）小题]规定!11mmxxxcmx，其中mRx,是正整数，且10xc，这是组合数第3页（共13页）nmmncmn是正整数，且,的一种推广。组合数的性质：是正整数）是否能推广到mRxcccmxmnnmn,(的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，说明理由。本题生动的给出了mxc的发生式定义，问题清楚的提出能否作出满足题意的推广。猜想推广命题为nmxmxcc，按照mxc的定义，观察、分析推广命题的形式知，mxmRx,,是正整数，但mRx,是正整数，mx一定是正整数吗？显然不能。这样我们将陌生的问题转化熟悉的以后，反例就容易获得了。事实上，反例有无数个。如：323513535,1,35ccmx无意义；或133,1,3cmx无意义，所以性质：nmxmxcc不能作满足条件的推广。上述反例是从定义出发获得。1.1.2运用特殊化、运动变化的思想获得反例特殊化一般是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一上较小的集合或仅仅一个对象，特殊化在求解问题时常常用到。例2在一张对称的桌面上，两人玩放围棋子的游戏，直到桌面上无法放棋子为止，棋子放得多的一方为胜者。问：该游戏规则对先放棋子者是否有利？图一放棋演示设想：见图一，如果将桌面特殊化成一张充分小的桌面，仅能放下一颗棋子，显然，先放者必胜。如果再让桌面具有对称性地向外延拓，那么后放棋子的选手将棋子无论放在桌面上的哪个位置，先放者总可在桌面上找到相应的对称位置放棋子。因此，最终在桌面上无法放下一颗棋子的是后放者。规则对先放者有利。特殊化的方法在数学的许多猜想的证明与推导过程中经常用到。往往是先解决特殊化后的问题，再把一般问题转化到特殊化问题上来。第4页（共13页）当一个猜想给出后，我们可以根据猜想命题的题型特点，运用运动变化的观点考虑变化中的特殊情况获得反例。例3下面有两个猜想：猜想1已知Rba,，证明或否定（1）133abba；（2）13131abba；（3）1717133abba；（4）17733abba；猜想2已知1,,,xyzRzyx，证明或否定（5）23311311311zyx；（6）23711711711333zyx；观察式（1）左侧的结构，运用运动变化的观点，让ba，则（1）式左侧2，所以（1）式不可能成立，取1ba代入（1）式左侧，得等号成立，再取2ba试验，有152233abba，于是我们获得了（1）式不成立的反例；用同样的方法，可以得到（4）式不成立的反例，取2ba，有192277333abba即猜想1中式（4）不成立；再观察（2）的左侧，让0ba则（2）式的左侧0，所以（2）式不可能成立，取31ba，有16123131abba即猜想1中式（2）不成立；用同样的方法可以得到（3）式不成立的反例，取71ba，有第5页（共13页）114127171333abba即猜想1中不等式（3）不成立；观察（5）式的结构，当1,,,0xyzzyx时，（5）式的左侧1，所以（5）式不可能成立，取8,641zyx，于是1xyz，但2357521523648311311311zyx，即猜想2中不等式（5）不成立；同样的方法分析可得，取9,811zyx，于是1xyz，但23211427818171171171133333zyx，于是我们获得了猜想2中（6）式不成立的反例。1．2反例在高等数学中的作用1.2.1反例的寻找为新兴学科的发展提供了源泉被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。虽然分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.vonKoch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形第6页（共13页）几何思想的源泉。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。1.2.2利用反例，有助于学生全面正确的理解、掌握高等数学的基本知识1.2.2.1概念教学中利用反例可帮助学生深入对概念的理解数学概念本身是抽象的，引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、深化过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性。通过列举或构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，让学生严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质，从而达到学好的效果。例1在学习数列极限的ε-N定义之后，我们可以提出这样的问题：若ε0，N0，当nN时，{nx}中有无穷多项满足Axnε，是否Axnnlim？答案是否定的。我们可设nx=1+(-1)n-1，对0，有|kx2-0|=0ε,但因为0lim,2lim212kkkkxx,该数列显然无极限。用这个小小的反例就可以简洁的驳斥这种错误的认识，因为虽有无穷多项满足Axnε，但也有无穷多项不满足Axnε，而极限的定义要求当nN时，所有的Xn都满足Axnε，即不满足Axnε的项至多有X1，X2，…XN有限项。经过这一反例的判断和分析，学生自然对ε-N定义的本质有了进一步的认识，对定义的要求也有了更明确的理解。例2对于导数定义的理解，有些同学仅停留在形式的背诵上，而没有领会其精神实质。为此，我们可以提出这样的问题：若已知极限nlimnnxfxf11存在，其中n为自然数，问xf是否可导？我们知道对于定义中的xlimxxfxxfA，是要求自变量X的增量x0的过程是以任意方式进行的。初学者往往容易对这一点理解不清或容易忽视，从而错误的认为：令xn1，则有nlimnnxfxf11=xlimxxfxxfA（既导数定义），第7页（共13页）因此xf可导。我们可先举一个反例帮助同学们分析，如：设为无理数，为有理数xxxf0,1，则因为,xxnx与1同为有理数或无理数，故恒有nlimnnxfxf11=0，但是xf显然在,内处处间断，因而在任何一点都不可导。然后在此基础上再和学生分析导致错误的原因，并进一步强调：在求函数一点处的导数时，自变量X的增量x0的过程必须以任意方式进行，而不能只按照某种特定的方式（如此