最强胡不归专题

1最强胡不归专题整理人：高邮市赞化学校段广猛（感谢网友提供的好资源）古老的传说——模型建立从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图1－1所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”.于是，问题在于如何去找出D点.这个古老的“胡不归”问题风靡了一千多年，一直到十七世纪中叶，才由法国著名科学家费尔马揭开了它的面纱.例如：已知A（0，82），C（2，0），若D在OA上，要使13ADCD有最小值，则D的坐标为.1.（2015年外国语一模）如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)2.（2015年高邮模拟）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB＝50km，B，C间的距离为100km，从A到C必须先坐船到BC上的某一点D，航速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记∠BDA＝θ（1）试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t（θ）；（2）问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？3.已知在平面直角坐标系中，(2,0)A、(0,3)B、(3,0)C，设D是线段BC上一点（不含端点），连接AD，一动点M从点A出发，沿线段AD以每秒一个单位速度运动到D点，再沿线段DB以每秒2个单位的速度运动到B后停止，当点D的坐标是多少时，当M在整个运动过程中，用时最少为.4.已知在平面直角坐标系中，(2,0)A、(5,33)B、(4,0)C，设D为线段BC上一点（不含端点），连接AD，一动点M从点A出发，沿线段AD以每秒一个单位长度运动到D点，再沿线段DB以每秒2个单位的速度运动到B后停止，当点D的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？135lBA25.在平面直角坐标系中，已知1(,0)2A、(0,4)B、(2,0)C，设D为线段BC上一点（不含端点），连接AD，一动点M从点A出发，沿线段AD以每秒一个单位速度运动到D点，再沿线段DB以每秒5个单位的速度运动到B后停止，当点D的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？6.（2013年南长区一模）等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为.7.（2012崇安模拟），如图，ABC在平面直角坐标系中，AB＝AC，A(0，22），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为（）A.），（20B.），（220C.），（320D.），（4208．（2017广州）如图13，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，COD关于CD的对称图形为CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若6cmAB，5BCcm．①求sinEAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1/cms的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动．当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．9.（2016年梁溪区二模）如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为.10.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6,ABC＝150°,则PA＋PB＋PD的最小值为.311．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为13时，求正方形的边长.12.（2015内江）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当21CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．13.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A（－1，0），B（0，－3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB21的最小值为.EADBCNM414.（2016年山东济南）如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若12CC＝65，求m的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋23E′B的最小值．15.（2015日照）如图，抛物线nmxxy221与直线321xy交于A、B两点，交x轴于D、C两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）。（1）抛物线的函数关系式为，tan∠BAC＝；（2）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由；（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？第14题图2xyMNPBAOEE'第14题图1xyMNPBAOE516.（2014成都）如图，已知抛物线）＞为常数，0)(4)(2(8kkxxky与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线bxy33与抛物线的另一个交点为D。（1）若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为多少时，点M在整个运动过程中用时最少？17.（2017徐州二模）二次函数cxaxy22图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，－3）。（1）a，c；（2）如图①，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PCPD2的最小值；（3）如图②，点M在抛物线上，若3MBCS△，求点M的坐标.xyxyM618.（2016随州）已知抛物线）0)(1)(3(axxay，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线bxy3与抛物线的另一个交点为D。（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为；（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒332个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？19.如图1所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝43，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．720.（2014成都）如图，已知抛物线)4)(2(8xxky（k为常数，且0k）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线bxy33与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？21.（2015年南长区二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN＝5ON．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点(不含端点)，连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒35个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．822.如图，已知抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？23．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．G为OA中点，设K为线段AC上一点（不含端点），连接GK．一动点Q从G出发，沿线段GK以每秒1个单位的速度运动到K，再沿线段KC以每秒个单位的速度运动到C后停止．当点K的坐标是________时，点Q在整个运动过程中用时最少为_______秒.24.如图，已知抛物线y＝m（x＋1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限．∠DBA＝30°，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是________时，点M在整个运动过程中用时最少25.如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN＝5ON．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C．如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．