证明三点共线问题的方法

证明三点共线问题的方法1、利用梅涅劳斯定理的逆定理例1、如图1，圆内接ΔABC为不等边三角形，过点A、B、C分别作圆的切线依次交直线BC、CA、AB于1A、1B、1C，求证：1A、1B、1C三点共线。解：记,,BCaCAbABc，易知1111ACCCCBSACCBS又易证11ACCCCB.则11222ACCCCBSACbSCBa.同理12121212,BAcCBaACbBAc.故1112221112221ACBACBbcaCBACBAabc.由梅涅劳斯定理的逆定理，知1A、1B、1C三点共线。2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线）例2、如图，以锐角ΔABC的一边BC为直径作⊙O，过点A作⊙O的两条切线，切点为M、N，点H是ΔABC的垂心.求证：M、H、N三点共线。(96中国奥数)证明：射线AH交BC于D，显然AD为高。记AB与⊙O的交点为E，易知C、H、E三点共线。联结OM、ON、DM、DN、MH、NH，易知090AMOANOADO，∴A、M、O、D、N五点共圆，更有A、M、D、N四点共圆，此时，0+180ANDAMD因为2AMAEABAHAD（B、D、H、E四点共圆），即AMADAHAM；又MAHDAM，所以AMHADM，故AHMAMD同理，AHNAND。因为0180AHMAHNAMDAND，所以，M、H、N三点共线。3、利用面积法如果SSEMNFMN，点E、F位于直线MN的异侧，则直线MN平分线段EF，即M、N与EF的中点三点共线。ABCC1B1A1BMHEOCAND例3、如图，延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E，延长边AD、BC交于点F，又M、N、L分别是AC、BD、EF的中点，求证：M、N、L三点共线。证明：设BC的中点为O，辅助线如图所示，由//,//OMAEONDE可知，点O必在EMN内，此时，SSSSEMNOMNOMEONEOOOBMNMBNCMNBCNSSSSSBBBC11111()()()22224MDBCDMCDMCAADCABCDSSSSSSS四边形同理，14FMNSS四边形ABCD。因此SSEMNFMN。此时，直线MN平分EF，即M、N、L三点共线。注：利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。4、利用同一法尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。例4、如图4(a)，凸四边形ABCD的四边皆与⊙O相切，切点分别为P、M、Q、N，设PQ与MN交于S，证明：A、S、C三点共线。证明：如图4(b)，令PQ与AC交于/S，易证//APSCQS与互补。而//ASPCSQ，则//////sinsinsinsinASAPSCQSSCAPASPCSQCQ，故//ASAPSCCQ。再令MN与AC交于//S。同理可得////ASAMSCCN但APAMCQCN，所以//////ASASSCSC。利用合比性质得，///ASASACAC。因此，///ASAS，可断定/S与//S必重合于点S，故A、S、C三点共线。注：观察本题图形,显然还可证得B、S、D三点共线；换言之，AC、BD、PQ、MN四线共点。ABDCFEMNLOS/(b)(a)ODABCBADOCNQMPMPNQ5、利用位似形的性质如果ABC与///ABC是两个位似三角形，点O为位似中心，那么不仅A、/A、O；B、/B、O；C、/C、O分别三点共线，而且ABC、///ABC的两个对应点与位似中心O也三点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。例5、如图,ABC内部的三个等圆⊙1O、⊙2O、⊙3O两两相交且都经过点P，其中每两个圆都与ABC的一边相切,已知O、I分别是ABC的外心、内心，证明：I、P、O三点共线。证明：联结12OO、13OO、23OO。由已知得12//OOAB、23//OOBC、13//OOCA。可断定ABC与123OOO是一对位似三角形，且易知ABC的内心I是两者的位似中心。因为⊙1O、⊙2O、⊙3O为等圆，即123POPOPO,所以点P是123OOO的外心。又点O是ABC的外心，故P、O两点是两个位似三角形的对应点，利用位似形的性质，即得I、P、O三点共线。6、利用反证法有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。例6、如图，梯形ABCD中、DC//AB，对形内的三点1P、2P、3P，如果到四边距离之和皆相等，那么，1P、2P、3P三点共线，试证之。证明：先看12PP、两点，设直线12PP分别交AD、BC于M、N，11PEBC于1E，22PEBC于2E，11PFAD于1F，22PFAD于2F。因为DC//AB，则点1P到AB、CD的距离之和等于点2P到AB、CD的距离之和。由已知可得O3O2O1PABCION/F2F1M/P3P2P1NE2E1HGDCABPM11112222PEPFPEPF。过点1P作AD的平行线、过点2P作BC的平行线得交点P（由于AD与BC不平行）。记1PP交22PF于G，2PP交11PE于H。观察上式有11222211PEPEPFPF。所以，12PHPG。因为12PPP有两条高12PHPG，所以，12PPP是等腰三角形，则1221PPPPPP。故1221DMNPPPPPPCNM。再用反证法证明点3P一定在12PP上：假设点3P不在12PP上，联结13PP并延长分别交AD、BC于//MN、，易知点//MN、在MN的异侧；因为点1P到AD、BC的距离之和等于点3P到AD、BC的距离之和，由上述证明过程知必有////DMNCNM。事实上，观察图形只能得到////DMNDMNCNMCNM，矛盾，这说明点3P必在12PP上，即MN上，因此1P、2P、3P三点共线。7、用塞瓦定量的逆定理变三点共线为三线共点，利用塞瓦定理的逆定理，在圆内接凸六边形ABCDEF中，若ABCDEFBCDEFA，则AD、BE、CF三线共点；反之亦然，利用这个结果来证明某些三点共线问题，可立竿见影。例7、如图7，凸四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC交于点P，作PE、PF切圆于E、F，又AC与BD交于K，证明：E、K、F三点共线。解：联结AE、ED、CF、FB得凸六边形ABFCDE。欲证E、K、F三点共线，即AC、BD、EF三线共点，只须证ABFCDEBFCDEA。注意到,,PABPCDPFCPBFPDEPEA。则,,ABPAFCPCDEPECDPCBFPFEAPA。又PE=PF，则1ABFCDEPAPCPECDBFEAPCPFPA。故ABFCDEBFCDEA。因此，AC、BD、EF三线共点，即E、K、F三点共线。KPFEDCBA练习题1、在ABC中，ABBCCA，它的内切圆切BC、CA、AB于D、E、F。设FE与BC交于/A，FD与AC交于/B，DE与BA交于/C。求证：/A、/B、/C三点共线。（提示：方法1）2、证明：圆外切凸四边形对角线的中点及圆心三点共线。（提示：利用面积法）3、凸四边形ABCD内接于圆，AC与BD交于P，过点A、D分别作BD、AC的垂线交于点K，过AB、CD的中点分别作BD、AC的垂线交于点L.证明：P、K、L三点共线。（提示：设第一组垂线的垂足为M、N，第二组垂线的垂足为X、Y，寻证MN//XY，得出KMN与LXY位似。）4、图8，凸四边形ABCD的0120AB，以AC、BD、CD为一边分别作三个正三角形：ACPBQDCDR、、。证明：P、Q、R三点共线。（提示：延长AD、BC交于点E，显然C、D、R、E四点共圆，再寻找其他的四点共圆，利用方法2）5、⊙O的弦AC、BD交于点S，过点A、B分别作⊙O的切线得交点P，延长AD、BC得交点Q，求证：P、S、Q三点共线。（提示：设射线QS交AB于点K，设线段PQ交AB于点/K，利用同一法，设法证明点K与/K重合）APBQDCR