综述及方法

一、国内外研究概况、水平和发展趋势非线性微分几何理论为研究混沌系统的控制、镇定以及同步提供了新的方法。现代微分几何框架被用来研究非线性系统的性能和反馈控制始于20世纪70年代，并在80年代发展逐渐趋于成熟，在90年代被逐步运用于混沌系统的控制。近十多年来，基于微分几何方法的混沌同步研究逐步成为新的研究热点和发展趋势，但到目前为止，所研究的同步类型还仅限于完全同步，并且采用的控制方法比较单一，有很大的研究空间。基于微分几何理论对于混沌控制研究文献始见于90年代中期，国内外均有了一些卓有成效的方法和应用；而对于基于微分几何方法的混沌同步研究结果，国内外的文献资料虽然还不多，但已经得到了重要突破，凸显了微分几何方法的优势，并形成了新的研究热点。具有代表性的文献，如陈明杰、张爱筠运用微分几何理论,仿照一般单输入单输出非线性系统的标准型描述方法研究了一种混沌同步误差系统的标准型，以混沌同步误差系统的标准型为模型,将混沌系统间的参数失配扩张成混沌同步误差系统的状态,并尽可能少地利用系统的可测信息构造高增益观测器来估计扩张系统的状态,最后用观测出的状态设计出同步控制策略，该结果有效地实现了参数失配混沌系统之间的同步；王智良，张化光等人采用非线性控制系统的微分几何理论，将原混沌系统进行输入-输出部分线性化，并结合极点配置方法，在一定的假设前提下，设计了一个实现高维混沌系统同步控制的反馈控制器，该方法可用于同步由单个状态变量或多个状态变量线性或非线性组合形成的多输出信号的同步；赵辽英、赵光宙和厉小润等人通过选择合适的光滑向量场，根据多输入多输出微分几何理论将接收系统规范化，由收发端的输出及输出的各阶导数之差构造同步误差状态方程，然后根据极点配置方法设计反馈控制，使发送和接收系统的输出同步；又如王小军，张学义，王文武，李殿璞等人把非线性系统的微分几何理论与混沌系统的同步控制目标相结合，设计了蔡氏电路混沌系统的标量混沌信号同步控制的非线性反馈控制器。在该控制器的作用下，使受控系统同步于给定标量混沌信号，而且同步的效果是大范围渐近稳定的，并具有较强的鲁棒性。从近十多年来国内外的文献资料的分析可知，虽然微分几何方法具有方法独特和精确线性化等特点，但由于该方法的计算繁杂和尚存一些局限性，故得到的结果不多，在非线性系统的控制问题中，微分几何方法大多直接应用于与工程相关的非线性系统的控制和镇定的方面，是该领域的热点问题，特别体现在电力系统的稳定控制，但相对于物理学中的混沌系统的同步控制领域的研究进展尚显薄弱，特别是在将微分几何方法与传统的控制方法相结合来解决混沌系统之间的各种类型的同步问题，不仅是个亟待研究和完善的问题，而且是个很有吸引力的突破方向。利用微分几何方法研究混沌系统同步的问题有着显著的理论优势。状态反馈精确线性化是非线性系统的微分几何控制理论体系的主要组成部分，这种精确线性化与传统的忽略高阶非线性项的近似线性化不同，其往往可能具有全局意义。其基本原理是通过非线性坐1标变换将非线性系统化为完全可控的线性系统。另外，面对目前已经存在的各种有效的混沌控制方法，如自适应、Backstepping、滑模控制(SMC)等，运用微分几何方法进行有恰当选择的非线性坐标变换本身，往往就可以将原来的非线性系统转化为与之能够有效结合的形式。本课题的广阔研究空间在于将此微分几何方法与目前为数众多的各种混沌系统的控制方法按不同的系统特点结合起来，形成更加有效实用的复合控制方法来应用于混沌系统之间不同类型的同步控制问题，如投影同步、广义同步等。与经典的近似线性化方法相比，微分几何方法虽然控制算法比较复杂，但它的优点是在理论上没有误差，是一种精确线性化方法，而且是一种大范围甚至是全局线性化，用微分几何方法研究实际工程系统的控制与同步是一个具有极大潜力的新方向，它已经初步形成了自己的理论体系。本项目的研究拟以物理学中的混沌系统和超混沌系统为主要研究对象，运用微分几何方法与目前各种行之有效的控制理论和方法相结合来研究混沌系统间的各类同步问题，着重关注于混沌同步、超混沌同步控制策略、判别准则以及主要物理机制等这些混沌同步理论研究的难点和热点问题，控制策略的采用遵循使控制律的设计最小限度的改变原系统。此外，目前仅有的运用微分几何控制混沌系统之间的同步问题也仅限于完全同步，还未涉及其它同步类型，如投影同步、广义同步等，这些问题都属于该领域中的热点。二、具体研究内容和重点解决的关键技术问题本项目拟将近些年来的混沌控制的热点方法----非线性控制系统的微分几何方法，与相对成熟的传统控制理论和方法相结合，针对物理学中的各种混沌同步类型，来研究同结构和异结构混沌系统、超混沌系统之间的大范围渐近同步的新方法。具体研究内容和重点要解决的关键技术问题如下：1.依据微分几何方法，首先针对一类混沌系统作为突破口，分析误差动力学系统的结构特点，寻求使其具有有效相对阶的存在条件，计算出相应的定值函数，从而进行适当的非线性坐标变换，设计出相应的非线性反馈控制器，使两系统大范围渐进同步。2.将微分几何方法与非线性动力学理论结合，研究各种同步类型的应用特点，发挥各自的理论优势，设计混沌同步的控制器，并通过具体系统的仿真模拟，验证同步原理的有效性。同时，分析结果的性能指标，进行适用性评价。3.将微分几何方法与最优控制、极点配置、自适应、Backstepping以及滑膜变结构控制等传统成熟控制方法相结合，针对在保密通讯中有重要应用的混沌同步类型，如投影同步、广义同步等，分析研究混沌同步的策略、控制原理，设计相应的控制器，结合实例寻求大范围渐进同步的效果。最后通过模拟仿真验证做出有效性评估、调整，直到达到性能指标，并与传统方法比较、总结。4.在研究制定混沌同步的控制原理中，充分考虑同步过程中的抗干扰性能，并针对具体混沌系统，给出具体的抗干扰策略，进行鲁棒性和仿真模拟分析，不仅要方法先进，而且在性能指标上要力图超过传统方法。25.在混沌系统的选择上，从应用的角度考虑，不仅注意异结构、超混沌系统的合理配置，而且同时考虑适当的同步类型的运用，还要将其与同结构同步策略进行比对分析，归纳总结异同点、一般规律和使用条件。三、.学术特色及技术创新点本项目遵循的基本原则是，基于微分几何理论，充分发挥混沌控制与同步领域中多方面的成熟技术和方法，密切跟踪国内外混沌控制领域中的发展动态，针对多种混沌同步类型，研究混沌同步控制的新技术、新方法。具体创新点归纳如下：1.微分几何方法在混沌控制方面已经有了一些较为成熟的应用，特别是在电力系统的控制中，本项目将借鉴微分几何方法在控制领域中的成果，拟将微分几何方法结合最优控制、极点配置、自适应、Backstepping、滑膜变结构控制等技术来研究物理学中混沌系统和超混沌系统之间的同步控制新方法。2.鉴于目前微分几何方法在混沌系统的同步控制应用中，其同步类型都仅限于混沌系统间的完全同步，本项目的着眼点之一是指向在保密通讯方面具有更丰富的应用的同步类型，如投影同步、修正投影同步及广义同步等。3.将考虑把上述研究方法推广至异结构混沌系统间的同步控制问题中，并从应用的角度考虑选择适当的同步类型匹配，填补在该方向上的研究空白。由于微分几何方法在计算环节上的复杂性，届时会面临诸多理论分析、计算繁琐等技术困难，有待于启动本项目后，从某一类混沌系统开始寻求逐步解决和突破。三、方案的可行性论证混沌控制与同步是本项目组长期的研究方向，已经积累了针对各类不同系统的较为丰富的实现混沌同步的方法，所研究的同步类型涉及同结构、异结构系统之间的完全同步、投影同步和广义同步、滞后同步以及参数不确定系统间的同步问题等，所采用的方法主要集中于基于微分几何方法的同步、自适应同步、Backstepping同步、滑模变结构控制同步等。因此，本项目的总体研究路线是将微分几何方法与上述控制理论和方法相结合，发挥各自优势特点，开发新的混沌控制与同步的方法。该技术路线是可靠的，理由如下：（1）用微分几何方法研究实际工程系统的控制与同步是一个具有极大潜力的新方向和热点课题，它已经初步形成了自己的理论体系。（2）上述提到的其它控制理论方法已经是相对成熟的，并且有大量文献证明其理论和实践的正确性和有效性。（3）微分几何方法是一种精确线性化理论，而且是一种大范围甚至是全局的线性化，在理论上没有误差。在非线性系统的局部能控性和能观性、非线性系统的扰动解耦等方面有充分的理论支撑，使用该方法可以有效避免经典的近似线性化方法的弊端。（4）为了研究混沌同步控制问题，仔细分析传统控制理论中的系统类型，从非线性特征上对混沌系统进行归纳，尽可能地使混沌同步研究借鉴传统控制理论的成熟成果和新发现，如滑膜变结构控制方法或Backstepping方法等，先从理论上研究控制原理，然后进行实例推演、模拟仿真，3验证控制原理的有效性。这种做法在技术路线上是成熟的。四、研究方法和技术路线（1）作为上述研究方法和技术路线实施的前期工作，充分分析各类混沌系统在考虑不同的同步类型的情况下所形成误差动力学系统中各自不同的非线性特点，规避或保留适当的非线性项，总结规律，以使不同复合控制方法的方便运算和推演。（2）关于一般性的研究方法和技术路线描述。首先，根据受控系统的非线性特征施加适当的控制量，由驱动系统和受控系统得到如下一般性的误差动力学系统，将两系统的同步控制转化成为误差动力学系统在其零点0e邻域的稳定控制问题。λ(e)yg(e)uf(e)ee其中的λ(e)，为须满足一定条件的定值函数。（3）设0e的邻域为U，依据Frobenius定理，对于Ue，若上式中的系统当且仅当满足如下条件时，矩阵g(e)ad...g(e)adg(e)C1nff的秩等于系统状态空间维数n；分布}{g(e)adg(e),...,adg(e),D2nffspan在0e的邻域U是对合的。则必然存在一个定值函数λ(e)，使得系统所在的一个开集U上，可被精确线性化成一个完全可控的线性系统。（4）根据所研究问题的需要，通过λ(e)满足的偏微分方程确定该定值函数，从而进行在零点邻域的局部同胚变换，得到希望形式的误差动力学系统。（5）为了使两个混沌系统达到某种预期类型的同步，可根据情况从如下控制方法中做出选择，并与上述微分几何方法运算结果恰当匹配：依据二次型性能指标线性最优控制原理以及对Riccati矩阵方程的求解，获得状态反馈的最优控制。如果控制器中包含系统的所有状态且可观测，或针对部分状态不可观测时通过状态观测器估计这些状态，然后，通过极点配置方法设计适当的反馈增益矩阵。滑膜变结构控制方法。它涉及几个步骤：①选择适当的滑膜面，使在滑膜流形上的滑膜运动是稳定的，并确保0lime(t)t；②建立一个鲁棒趋近律来确保滑膜流形0)(tS的存在；③构造Lyapunov函数，在理论上证明上述方法并通过模拟仿真验证其有效性。Backstepping控制技术和自适应控制方法，可以减少控制量和考虑处理参数不确定系统之间的混沌同步问题。（6）对于研究结果的控制原理、混沌同步控制器，在理论上归纳出符合逻辑的原理描述，通过实例进行编程模拟仿真，配置其中的参数，验证结果的有效性，给出性能指标的评估，并与经4典方法得到的相应结果进行比较分析，归纳总结一般规律。五、可能遇到的问题和解决方法（1）对于两个混沌系统构成的误差动力学系统，其非线性往往是非常丰富的，是否需要通过反馈实现完全的精确线性化，应该考虑到实际情况。换句话说，适当保留非线性项会给系统提供非线性阻尼，而使系统具有更快的衰减特性。因此，有时将非线性项完全消除可能是不明智的，应具体分析非线性系统的特性，以采用合适的控制方案。（2）在研究混沌同步控制中，对于某些混沌系统存在不希望的外界干扰。这就出现了控制策略是否具有抗干扰性能。如初步分析可知，与滑膜控制理论结合时，适当地采用微分几何扰动解耦的方法，使系统的输出独立于外界扰动，可以既保证系统的控制精度，又可以提高控制的鲁棒性。（3）对于滑模面的设计，可能关系到总体控制器在何种范围内收敛的问