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约束优化问题的灵敏度分析摘要回顾和比较了近年来国际上基于多体系统动力学的设计灵敏度分析与动态优化设计所提出的主流方法,在此基础上,对具有通用性的设计目标函数,基于多体系统运动学方程、常微分方程形式的动力学模型和微分/代数动力学模型,系统地建立了设计灵敏度分析的直接微分方法和伴随变量方法.关键词:多体系统动力学;动态优化设计;灵敏度分析;微分方法;伴随变量方法SensitivityanalysisofconstrainedoptimizationproblemsAbstractSomemethodsforsensitivityanalysisandoptimizationofmultibandsystemdynamicssuggestedrecentyearsarereviewedandcompared.Thedirectdifferentiationmethodandadjoinsvariablemethodforsensitivityanalysisbasedongeneralobjectivefunctionsandkinematicalalgebraicequations,ordinarydifferentialequationsofmotionanddifferential/algebraicequationsofmotionarepresented,whichlinktheanalysisofmultibandsystemdynamicsandoptimizationofthesesystems.Keywords:dynamicsofmultibandsystems;dynamicoptimization;sensitivityanalysis;directdifferentiationmethod;adjoinsvariablemethod目录前言--------------------------------------------------------------------------1第一章多体系统动力学优化设计数学模型--------------------------------1第二章基于代数方程的设计灵敏度分析------------------------------------22.2伴随变量方法---------------------------------------------------------------------------32.1直接微分法------------------------------------------------------------------------------6第三章基于常微分方程的设计灵敏度分析--------------------------------83.1直接微分法-----------------------------------------------------------------------------103.2伴随变量法-----------------------------------------------------------------------------12第四章基于微分/代数方程的设计灵敏度分析--------------------------14结语--------------------------------------------------------------------------------15参考文献--------------------------------------------------------------------------------16前言多体系统动力学仿真与分析已经成为复杂机械系统、车辆系统、机器人系统、航天器系统及运动生物体等系统计算机辅助工程(CAE)的核心内容之一[1-3].借助于多体系统仿真与分析软件,机械设计工程师们逐渐习惯于在制造样机以前反复对初始系统设计进行计算机仿真、分析与验证,并进一步改进设计,从而大大缩短了设计周期、降低了设计成本、减少了生产样机和基于样机试验带来的风险和危险,并且有些特殊系统根本无法通过物理模型进行试验.传统的多体系统动力学仿真与分析包括系统的运动学分析、动力学分析、静力学分析、逆动力学分析、稳定性分析以及控制系统设计分析等内容,研究的过程包括系统数学模型的建立、所得到的数学模型的数值分析方法的研究、分析与仿真软件的研制及其在各类工程系统中的应用.自20世纪70年代末,多个流派的多体系统动力学建模理论体系已经形成[3-6];系统数学模型数值分析方法的研究,尤其是含约束的微分/代数方程数值积分方法的研究曾一度成为该领域与数值分析领域研究的热点,目前业已硕果累累[7];大量基于多体方法的专用与通用仿真软件相继问世[8,9],并在各类多体系统中普遍使用.基于多体系统动力学的各类通用及专用软件无疑给复杂系统的计算机辅助工程注入了强大的活力,但实际工程中也提出了最优设计方案和设计方案对设计参数依赖性的迫切要求.由于各类复杂系统的数学模型往往为一组高维、强非线性的代数方程、微分方程或微分/代数混合方程,给基于通用多体模型设计最优方案带来了困难.借助于传统的仿真软件,工程师必须针对不同设计参数进行反复仿真,通过对仿真结果的观察分析确定较理想的方案.但由于问题的复杂性,每一次仿真过程需要花费较长的时间,且很难通过观察仿真结果直观地确定仿真的效果对仿真所采用的设计参数间的确切的依赖关系.这样,就必须求助于优化设计算法从数值上确定出最优化设计方案,并确定设计方案对设计参数变化的依赖性或敏感性,从而引起了美国、德国等多体动力学专家对复杂系统动力学灵敏度分析与优化设计研究的兴趣.对这类问题较早的研究见Barman[10]、Sohoni&Haug[11]、Krishnaswami[12]等,包含大量文献综述的系统研究有Bestle[13]、Eber-hard[14]、Serban[15]等.通常,基于给定的予设计找到理想设计方案的设计优化是一个反复迭代的过程.对于复杂多体系统的优化设计,由于在优化过程中需要对系统的动力学、运动学方程进行数值积分,选择的优化方法的效率与收敛性显得同等重要.大量数值实验表明[33],SQP(SequentialQuadraticProgramming)方法是多体系统动力学优化设计的高效方法,并被大量使用.但该类方法必须使用性能指标与约束函数对设计变量的偏导数,即灵敏度函数.这样,灵敏度函数的计算成为传统的多体系统动力学分析与所采用的优化方法的桥梁,并成为多体系统动力学优化设计的核心问题.同时,系统目标函数的设计灵敏度也能够充分反映目标函数对设计参数的依赖关系.设计灵敏度主要有3种计算方法.第1种为有限差分法,包括向前、向后和中间差分方案.该方法简单、直接,但计算精度和效率不高,故基本不被采用.第2种方法为直接微分法,该方法将系统方程直接对设计变量进行微分,从而,必须对每个设计变量求解一组代数或微分方程,对于设计变量较多的情况效率较低.第3种方法为伴随变量方法,该方法最早由Haug&Arola[17]提出,由于其理论上的完美及计算效率、精度和收敛性等方面的优越性成为目前多体系统动力学灵敏度分析和优化的首选方法.20世纪90年代初,Bestle&Eberhard[18]将符号计算与伴随变量方法结合用于多体系统动力学灵敏度分析和优化.此外,Eberhard[14]还提出了设计灵敏度计算的自动微分方法AD(AutomaticDifferentiation),该方法利用链式微分规则,能够自动计算系统中用户定义的非独立变量对独立变量的偏导数,并能产生源程序代码,具有较高的效率和精度,但限于规模较小的系统.1多体系统动力学优化设计数学模型多体系统动力学动态最优化设计,是在符合系统动力学或运动学规律的前提条件下,在系统的性态、几何尺寸关系或其它因素的限制(约束)范围内,选取设计变量,建立目标函数并使其获得最优的设计方法.其中,设计变量是在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数.该问题中,常用的独立参数来源于系统的物体、铰与力元,诸如连杆长度或截面几何尺寸、弹簧—阻尼器单元的弹性和阻尼系数、材料的弹性模量、物体的惯性特性等.这些参数中,凡是可以根据设计要求预先给定的,则不是设计变量,只有那些在设计过程中优选的参数,才可看成最优设计中的设计变量.本文将设计变量表示为:b=[b1,b2,…bl]T.在多体系统动力学动态最优化设计中,还涉及到系统的状态变量,用于描述系统的动态响应.与其对应的动力学方程可称之为状态方程.以下将系统状态变量表示为:q=[q1,q2,…qn]T.当所研究的问题为受运动驱动约束的多体系统运动学动态优化设计问题时,系统代数形式的状态方程为(q,b,t)=0,t∈[t0,tf](1)其中,=[1,…m,m+1,…n]T为由m个系统约束与n-m个驱动约束构成的约束函数矢量.该方程对应的速度与加速度级约束方程分别为qq·=-t≡υ(2)qq¨=-(qq·)qq·-2qtq·-tt≡γ(3)当所研究的问题为基于系统逆动力学的最优化设计时,系统的状态方程为Tq(q,b,t)λ(q,q·,b,t)=Q(q,q·,b,t)-M(q,b)q¨(4)通常t0给定,tf可假设由以下条件确定:Ψ(q(tf,b),q·(tf,b),b,tf)=0(5)在此假定Ψ关于其中变量二次连续可微,Ψ(tf)/tf≠0,由隐函数存在定理知,其解关于b二次连续可微.当所研究的问题为基于多体系统动力学常微分方程数学模型的最优化设计时,系统的状态方程为M(q,b)q¨=Q(q,q·,b,t)(6)该方程可以改写为一阶方程形式z·=f(z,b,t)(7)其中z=[qT,q·T]T假设t0给定,初始条件为z(t0,b)=h(b)(8)tf由以下条件确定Ψ(z(tf,b),b,tf)=0(9)当所研究的问题为基于多体系统动力学微分/代数方程数学模型的最优化设计时,系统的状态方程为M(q,b)q¨+φTq(q,b,t)λ(q,q·,b,t)=Q(q,q·,b,t)(10a)(q,b,t)=0(10b)并满足以下速度与加速度级约束:q(q,b,t)q·=-t(q,b,t)≡υ(11)q(q,b,t)q¨=-(q(q,b,t)q·)qq·-2qt(q,b,t)q·-tt(q,b,t)≡γ(12)在上述模型中,M(q,b)∈Rn×n为系统广义质量矩阵,λ(q,q·,b,t)∈Rm为Lagrange乘子矢量,(q,b,t)∈Rm为系统运动学约束方程左部,q(q,b,t)≡/q为系统约束方程的Jacobian矩阵,Q(q,q·,b,t)∈Rn为系统广义力矢量.t0,tf时刻分别有(q(t0),b,t0)=0(13a)·(q(t0),b,t0)=0(13b)(q(tf),b,tf)=0(14a)·(q(tf),b,tf)=0(14b)t0,tf由下式确定Ψ0(q(t0,b),b,t0)=0(15a)Ψf(q(tf,b),b,tf)=0(15b)统最优化设计的目标函数也称评价函数,它是评价设计方案优劣程度的标准.评价指标可以是性能指标(如位移、速度、加速度等),或结构指标(如体积、重量等),或经济指标(如成本、产值等).在基于多体系统动力学的优化设计问题中,目标函数可写为如下一般形式:ψ(b)=G0(q(t0),q·(t0),b,t0(b))+Gf(q(tf),q·(tf),b,tf(b))+∫tft0H(q,q·,q¨,λ,b,t)dt(16)其中,前两部分与初态和终态有关,第三部分与系统中间过程有关.在针对不同的状态方程,上述表达式中包含的状态变量有区别.在优化设计问题中,设计变量和状态变量通常总是要受到某些限制,这些限制称为约束条件.约束条件一般可分为性能约束与界限约束.性能约束又称为功能约束,或状态约束,该类约束反映系统性能或状态