试论大众化数学观教育的层面和实施策略

精品论文荟萃用心爱心专心118号为您服务-1-试论大众化数学观教育的层面和实施策略潘小明摘要从知识、观念、精神三个角度分析了大众化数学观的教育的层面，并提出了在教学中的实施策略.关键词大众化数学观教育层面教学策略中学生数学观是指中学生对数学的存在和发展、理论与应用的初步认识，对数学的个性与共性、具体性与抽象性的基本认识［1］.根据大众数学教育的理论［2］对中学生(本文主要指高中生)实施大众化的数学观教育不仅具有重要的哲学意义，而且也具有现实的指导价值.本文拟对大众化数学教育的层面和实施策略作出初步的探讨.1大众化数学观教育的层面和要求大众化数学观教育是与英才化数学观相比较而存在的，笔者认为它们的内容都应包含知识、观念、精神三个层面，只不过各有其不同的教育要求.1.1知识层面具备一定的数学知识是形成和发展中学生数学观的前提和起点，因此，对知识本身的认识是数学观的基本层面.这里的知识包含三类知识：算子性知识、关联性知识、策略性知识.算子性知识由教材中数学概念、数学原理和数学法则组成；关联性知识包含数学史、数学美、数学应用等游离或内隐于教材体系但与数学学习内容相关联的、有益于学生对数学价值理解的知识；策略性知识是主体关于如何解决问题的策略及对策略本身认识的知识，它包含对数学思维模式、数学思想方法、数学学习方法的知识.数学思想方法是学生形成正确数学观的纽带性知识，它是知识层面的数学观向观念层面的数学观转化的桥梁.有人认为：在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想［3］，笔者同意这种看法，并认为这三种数学思想是数学观知识层面中最重要的元素.对大多数学生来说，对知识层面价值的认识并不完全取于其本身，而更多的是取决于学习者本人的状态，由此在知识层面，大众化数学观教育的要求比之于英才化数学观教育的要求，前者更加强调对知识的有用性及其社会建构意义的认识，强调对知识本质——尝试性的认识.这种尝试性的发展来自人的创新和自主探索.1.2观念层面数学观念是人们用数学的思考方式去考虑问题、处理问题的自觉意识或思想习惯［4］，它是思维模式被内化的产物，是数学思想的升华.如果说知识层面是数学观的基本层面，那么数学观念便是构成数学观的核心层面，它由量化观、整体观、唯物辩证观所定位.量化观通俗地讲就是要“心中有数”“有数学的头脑”，是关于数学化的观念.量化观包含推理、抽象、化归、优化四种意识，它们各有不同的数学表现方式.整体观是指从全局考虑问题的观念，它是控制论、信息论、系统论中整体原理在数学中的反映，可分“学术整体观”和“文化整体观”，前者指在解题策略上整体考虑的意识，如整体代入、整体消元等，后者指从整体性上认识数学内容的意识，如集合关注的是具有某种性质的事物的全体所具备的特征；函数的单调性、奇偶性、周期性，连续性所反映的也是函数整体的性质.唯物辩证观包含唯物观和辩证观两个亚观念层面，唯物观是指数学来源于现实世界并作用于现实世界，它表明数学尽管是思维过程的结晶，但不是随意的创造，要受客观世界的制约，是对客观世界数量关系、空间形式的真实反映，其内容的可靠性不仅要合乎逻辑推理而且要接受实践的检验.辩证观是指从矛盾及其运动的角度来考虑问题的观念，它贯穿中学数学教育的全过程，如数集、角的扩张反映了数学概念的发展是人类在实践中不断揭示矛盾并解决矛盾的过程；0与1、数与形、微分与积分等矛盾也表明了数学中处处充满矛盾；函数是相关量的对立统一，函数随自变量的变化反映了客观事物相互依存、相互制约的运动变化规律；平面几何与立体几何图形的各种位置关系体现了事物的内在联系；数和形的相互转化体现了矛盾的同一性.大众化数学观教育和英才化数学观教育在观念层面的不同要求，可由其对观念层面的亚项认识强(+)弱(－)程度来表示(如表1).这里仅用强弱两个模糊的度量标准作单区分，主要考虑到大众化数学观教育和英才化数学观教育的区分不是绝对的，而是相对的，在多元化数学教育体制下，它们的教育机制甚至可以互相补充、互相借鉴.表1大众化数学观教育与英才化数学观教育在观念层面的不同要求精品论文荟萃用心爱心专心118号为您服务-2-1.3精神层面数学精神是在数学活动中逐步形成和不断发展的主观状态，其实质是探索，它是数学观的经脉.学生若能对数学精神有深刻的认识，则他不仅能在实践中灵活运用所学的数学知识，而且还能根据需要不断补充、吸纳新的知识(包含数学学科之外的知识).张雄先生曾在文［5］中明确了10种数学精神，笔者认为它们主要属于科学精神的范畴.对大众化数学观教育而言，应强调如下四种科学精神：应用化、致力于发明发现、多途径解决问题、批判.事实上，数学精神还应包含人文精神的成分，它也是人和人类社会自我激励、自我约束、自我完善所需要的美好的精神要素，在人类文明发展中起独特作用.大众化数学观教育应当强调如下人文精神要素：求真求美、坚韧不拔、创新交流、团结协作、无私奉献五种要素.如果说数学的科学精神对人类思维有深刻的影响力，那么数学的人文精神则控制数学在科学应用中的方向.大众化数学观教育必须使二者相互渗透、有机融合.大众化数学观教育是使学生对上述各层面的内容形成一个有侧重的、整体的、正确的认识.2.大众化数学观教育的实施策略大众化数学观教育真正实施的关键在于建立一套相应于进行这种教育的目的性的课程结构、教学体系和评价标准，在于建立起相应于目的性的大众化数学教育活动的动态运行机制，这个机制的建立显然需要多方面的艰辛努力.下面仅就数学观建构的基础和教学过程谈一些想法.2.1提供建构基础是大众化数学观教育的前提为大多数中学生提供数学观建构的基础是大众化数学观教育得以实施的前提，这种基础应当着眼于知识层面的建设，为此应当做到如下起码的两点：(1)拓宽知识空间，以“见”促“识”；(2)密切联系实际，让学生充分感受数学的现实价值.数学以其庞大的知识体系，以其对人类生活越来越重要的作用，正深刻地改变着人们的看法，例如突变理论、模糊相关回归分析、数学建模等已使得许多社会科学领域的问题及其研究建立在更令人信服的科学论证基础上.然而，中学生对此却鲜有所闻.追本溯源，中国数学教育具有考试文化十分浓烈的底蕴，升学考试对数学教学内容起着决定性的作用.不考就不讲不学造成学生知识视野的封闭、狭隘，严重地制约了中学生数学观的生长.见多方能识广，中学生必须从题海中跳出来，在教师的引导下，拓宽知识空间才能学会以简驭繁、触类旁通，促进数学见识的发展.为了避免由于拓宽知识空间而增加学生负担，必须认真考虑知识加宽加厚的度的问题，必须对现有的数学知识从学生学习的观点予以筛选、扩展、充实并转变.对一些算子性知识不必苛求其系统性、严谨性，必须证明的给出证明，而一些证明意义不大的则可说而不证，并考虑说的方式以保证学生的可接受性，例如函数的概念是采用“变量说”“对应说”还是关系说？拓宽关联性知识空间意味着不仅从纵向而且要从横向对学生的知识进行拓宽，在操作上要认真考虑从哪个角度确定关联性知识的核心概念.譬如，我们假设把线性代数引入高中数学，则若以布尔巴基学派的眼光看待线性代数，那么向量空间、线性映射、数量积以及Steinitz交换定理就成了核心概念，这只能适合英才化数学观教育的需要，但如果从“线性代数及其应用”的角度考虑，那么线性方程和高斯算法就是基本的，这应适合大众化数学观教育的需要.国外不少的数学教材在引入算子性知识之前都善于以“背景聚焦”的方式介绍了大量的相关性知识，值得借鉴.关联性知识的范围较广，对它的逐步认识需要由学科课程向活动课程、选修课程发散，需要由课内向课外延伸，方式可多样化，如可以开展数学史讲座，以使学生进一步了解数学概念的形成、发展，并让学生体验数学的美感；可以开展数学建模活动，让学生学会借助于模型的性质解决实际中的问题；可以让学生了解或掌握有关股票、保险、利率、估算、测量以及各种图表的有关知识；可以让学生了解一些与数学有关的边缘科学的知识等.拓宽算子性知识、关联性知识的目的在精品论文荟萃用心爱心专心118号为您服务-3-于使学生对数学知识的价值有充分的认识，绝不能让他们机械地记住孤立的知识项目，而是要有效地形成良好组织的认知图式，这需要教师在教学活动中注重学法指导、注重思想方法的启迪、渗透、概括.大众数学教育要求人人学有用的数学，因此大众化数学观教育必须密切联系实际，并让学生充分感受数学的现实价值.生活实际中，处处留心皆数学，是中学生数学观教育的宝贵资源.以几何为例，木工师傅画线弹墨线的办法实际上是“两点确定一直线”公理的反映，而“若一直线垂直于一平面内两条相交直线，则这直线垂直于这个平面”此定理也在木工、建筑中经常使用.博彩、保险以及商品促销中采用的有奖销售在各地的流行也可促使学生在生活中认识概率的思想.我们可以通过“题改战术”来实现纯数学问题与应用问题的有机结合，例如高二代数中有一道例题：已知0＜a＜b，m＞0，求证：(a+m)/(b+m)＞a/b.我们可以把它编成“采光问题”：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，便按采光算，窗户面积与地板面积的比不少于10%，并且这个比越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等量的窗户和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏了，请说明理由.我们还可以根据当地的社会、经济结构的特点和学校的具体实际，利用乡土教材师生共同开发作为数学课外活动中联系实际的课程，其间，教师要努力帮助学生理解实际问题的数学意义，这对目前普遍缺乏社会生活经验的学生来说尤为必要.2.2突出活动过程是大众化数学观教育的关键建构基础使中学生数学观的建立有了潜在的可能性，还必须通过教学过程把这种潜在可能性转变为直接可能性，突出数学活动过程是其关键.突出数学活动过程要遵循数学化、再创造的原则.唯有如此，才能引导中学生对数学观的知觉建构，即对各种层面的数学观的关注、理解、内化、拓展.为此应当：(1)注重教学反思，加强学生对策略性知识的认识；(2)暴露思维过程，筑起数学观念的认识桥梁.教学反思实质是对知识层面的元认知，在教学中如何引导学生反思？笔者认为作为教学过程的主导者应善于以问引思、以理导思、以变发思、以情激思.例如，数学中为什么要规定：0！=1，a0=1(a≠0)，y=arcsinx，x∈［－2，2］等？合不合理？有无更好的规定方案？通过讨论可形成如下数学观：人类社会为了生存、发展就要作规定，只有作了规定，才能有利于数学的研究、应用和传播；规定合不合理，要考虑其存在性、惟一性、相容性、不循环性；有无更好的方案还必须作美学的考虑.以理引思需要教师充分而灵活地说理，指导学生有意识地把蕴含于知识层面的数学思想方法总结提炼出来.例如通过解方程、方程组的回顾、反思提炼出“降次降维”“换元”“转化”等思想方法.通过变式加深对数学思想的认识已被广大教育工作者充分运用，而以情激思意指通过数学情境运用合情推理的认知方法使数学思想形象显露，并引起学生情感的共鸣，使他们在数学问题解决中体验数学思想，并逐步升华为数学观.观念层面的认识离不开具体的数学思维过程，它的形成和发展经历着聚合—发散—聚合的过程，从心理学角度讲教学过程应努力做到：(1)突出数学的原始生长点，暴露知识的发现过程.应当善于从生活实际中抽象出数学问题；(2)剖析各种方法的分化点.暴露知识的整理过程.引导学生对知识结构与数学方法进行必要的概括，从整体上进行认知；(3)抓好思想链接点，暴露探索视角的转换过程.引导学生从数学对象内在矛盾的运动、变化及各个方面的相互联系中进行观察，以便从本质上系统地、完整地认识研究的对象，这有利于培养学生辩证观.例在圆锥曲线教学中，引导学生认识随离心率量的变化，曲线由椭圆变抛物线，再变为双曲线，三种不同曲线的量变质变内在联系统一于方程：ρ=ep/(1－ecos0).从哲学角度考虑，主观数学知识创造客观数学知识，反过来客观数学知识又导致主观数学知识产生［6］，中学生的数学观只能产生于这两类知识的循环过程，而循环得以进行的前提是学生间能进行数学的交流，因此，营造交流气氛、引导学生各抒己见对优化数学教学过程、突出数学活动而言