试题研究以数学思想为背景的高观点试题探析

杜安利发稿1以数学思想为背景的高观点试题探析郭丽云（浙江省温岭中学）2008年浙江省《高考数学科考试说明》提出：对数学能力的考查，强调“以能力为立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。高等数学的一些内容可以通过初等数学的方法和手段解决，高考数学考试大纲也明确指出高考命题要与高等数学相关联，要为学生进入高校学习作准备。因此近几年高考数学试题中出现了一些与高等数学衔接紧密的高观点试题，为高考命题提供了新的背景和新的思路。一、高观点试题的内涵所谓高观点试题，是指与高等数学相联系的问题。这样的问题或以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。它能宽角度、多观点地考查学生基本的数学素养，有层次地深入了解数学理性思维和进一步深造的潜能，还能实现高等数学与初等数学的接轨。高等数学与初等数学交会是高考命题的六大交会之一，是现代数学新高考创新题的重要题源。二、以数学思想为背景的高观点试题数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是数学知识的精髓，是分析和解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。中学数学中向学生渗透数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、化归思想等数学思想。高等数学中重要的数学思想有函数的思想、极限的思想、连续的思想、导数的思想、微分的思想、积分的思想、级数的思想等等。初等数学和高等数学的数学思想存在着直与曲、常与变、有限与无限、间断与连续等统一的一面。初等数学思想是高等数学思想的简单体现，也是学习高等数学的基础。用高等数学的思想去认识、理解和解决初等数学问题，可以进一步地充实初等数学的某些理论的论述深度，以及进一步熟练地掌握用初等方法解决问题的技能。综观近几年的高考试题，对数学思想的考查并不考查其理论本身，而是考查其应用。本文就以高等数学的数学思想为背景的高观点试题为例对其解法作一些探究，希望能起到抛砖引玉的作用。1.以极限的思想为背景的高观点试题极限思想作为反映客观事物在运动、变化过程中由量变转化为质变时的数量关系或空间形式,能够通过旧质的量的变化规律,去计算新质的量。因此,它具有由此达彼的重大创新作用。极限思想是高等数学知识最基础的一块，也是高等数学教学的主线和核心内容。虽然在高中数学课程改革中，极限这一部分的内容已经所剩无几了，但是在命题中渗透极限思想的题目却还是人人称赞不绝，命题中应用高等数学中极限的思想，可以使呆板、平淡的数学题充满活力和魅力，而且也能折射出交会性命题的闪光之处。例1（2009年高考数学湖南卷理科第15题）将正△ABC分割成n2(n≥2,n∈N*)个全等的小正三角形（图1、图2分别给出了n=2、3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列。若顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=___，…，f(n)=___。解法1：应用初等数学思想。g图2A(a)（B(b)x1x2z1z2y1y2C(c)图1ABC杜安利发稿2当n=3时，如图2所示，分别设各顶点的数用小写字母表示，根据已知条件和等差数列的性质，得a+b+c=1,x1+x2=a+b,y1+y2=b+c,z1+z2=c+a,x1+x2+y1+y2+z1+z2=2(a+b+c)=2,2g=x1+y2=x2+z2=y1+z1,所以6g=x1+x2+y1+y2+z1+z2=2,即g=31，而f(3)=a+b+c+x1+x2+y1+y2+z1+z2+g=1+2+31=310,进一步可求得f(4)=5。由上知f(1)中有三个数相加，f(2)中有6个数相加，f(3)中有10个数相加，f(4)中有15个数相加，…，若f(n-1)中有an-1个数相加，可知f(n)中有（an-1+n+1）个数相加，且由f(1)=1=33,f(2)=36=333=f(1)+33,f(3)=310=f(2)+34,f(4)=f(3)+53,…，可得f(n)=f(n-1)+31n,所以f(n)=f(n-1)+31n=f(n-2)+31n+3n=f(n-3)+31n+3n+31n=…=31n+3n+31n+…+33+f(1)=31n+3n+31n+…+33+32+31=61(n+1)(n+2).解法2:应用高等数学的极限思想。若依题意顶点A、B、C处的三个数互不相同且和为1，如上述解法按等差数列的性质进行计算则显然运算量较大。如果偏偏特取A,B,C处的数均为13（极限法）来思考，可以使思维非常简洁。设分割成n2个三角形的顶点数为an,则图1中有a2=6，得1(2)623f,故图2中有a3=10，得f(3)=10×，31031易知n=4时有a4=15，…，探讨数列a2=6,a3=10,a4=15,…，an-an-1=3+(n-2)=n+1由累加法推知an=6+[4+5+6+…+(n+1)]=(1)(2)2nn个13,所以f(n)=61(n+1)(n+2)。2．以导数的思想为背景的高观点试题初等数学中经常用不等式、配方等方法求最值,这些方法的优点是学生熟悉,易于掌握。但这些方法往往是技巧性要求较高,特别是对较复杂的问题；另一方面是适用面较窄,只能解一些较特殊的问题。自从导数这块内容注入到中学教材之后，利用导数作为工具已成为高中学生研究函数性质的重要手段。这使得原本就受命题者青睐的导数几乎成了数学高考中的主角，基本上是每年必考的知识点之一。用导数方法求极值,有固定程序可循,技巧性要求低一些,适用面也广一些,极值和最值也容易分清。杜安利发稿3例2（2006年高考数学四川卷理科第22题)已知函数f(x)=22ln(0)xaxxx，f（x）的导函数是)x(f'.对任意两个不相等的正数x1、x2.证明：（1）当a≤0时，2)x(f)x(f21)2xx(f21；（2）当a≤4时，|xx||)x(f)x(f|212'1'。背景探析：本题渗透了高等数学中的导数思想。第（1）问实质是证明该函数为凸函数；第（2）问以数学分析中的拉格朗日中值定理为背景，考查高中学生运用函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力。证明：（1）（方法1）应用初等数学思想。对学生运用不等式的性质及综合分析、推理论证能力的要求比较高，这就要求思维严密，头脑清醒。因为)0x(xlnax2x)x(f2，所以,ln)(212)()(212121222121xxaxxxxxxxfxf,2ln4)(21)2(212122121xxaxxxxxxf而)(212221xx221)(21xx①，2121xxxx214xx②.因为a≤0，所以1212lnln2xxaxxa③。由①+②+③,得2121212221ln)(21xxaxxxxxx,2ln4)(212121221xxaxxxx即2)x(f)x(f21)2xx(f21。（方法2）从高等数学的角度分析。本题实质是研究函数的凹凸性问题，利用数形结合的思想，2)x(f)x(f21就是梯形的中位线的长度，)2(21xxf就是中点处的函数值。,xax2x2)x(f2',xax42)x(f23''当a≤0时，有,0)x(f''故函数f(x)是向下凸的函数，故有2)()(21xfxf)2(21xxf。（2）（方法1）应用初等数学思想。因为,xax2x2)x(f2'所以|||)()(|212'1'xxxfxf1|)(22|21222121xxaxxxx。只需证明122212122()21xxaxxxx恒成立，即证121222122()xxaxxxx恒成立。0xy1x2x221xx)(2xf)(1xf2)()(21xfxf图3杜安利发稿4以下证明略。（方法2）从高等数学的角度分析。设x1x2,由拉格朗日中值定理知,存在m∈(x1,x2)使得))(()()(21''2'1'xxmfxfxf,要证|xx||)x(f)x(f|212'1',只需证1|)(|''mf,而,xax42)x(f23''故只需证,142)(23''mammf即只需证mma42，而,44322322433222mmmmmmmm故当a≤4时，恒有mma42成立，故|xx||)x(f)x(f|212'1'。（方法3）把初等数学与高等数学结合起来考虑。|||)()(|212'1'xxxfxf1|)()(|212'1'xxxfxf，若设A(x1,f’(x1)),B(x2,f’(x2))，根据数形结合思想高中学生能得出212'1')()(xxxfxf恰好就是直线AB的斜率，把直线AB平移到与曲线y=f’(x)相切于点(m,f’(m))的位置，则212'1')()(xxxfxf=)(''mf，这实际上也是拉格朗日中值定理的几何意义。而)(''mf就是高等数学中的f(x)的二阶导数在x=m处的函数值，下面只要证明1|)(|''mf即可，证法同上。3．以微积分的思想为背景的高观点试题微积分是高等数学的重要组成部分，又是初等数学与高等数学相衔接的具体内容之一，人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-2）》中,增加了微积分的部分知识。加进微积分知识既可以增强高中数学的人文价值，也使学生掌握更有用的变量数学知识,有利于学生数学思维能力的培养，还可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高。例3(2005年高考数学湖南卷理科第15题)函数y=f(x)的图象与直线x=a,x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a,b]上的面积，已知函数y=sinnx在]n[0,上的面积为2n(n∈N*),则(1)函数y=sin3x在]32,0[的面积为_______；(2)函数y=sin(3x-π)+1在]34,3[上的面积为_____。背景探析：数学来源于生活又应用于生活，积分学最初起源于面积、体积等问题的计算。本例实际来源于微积分学的面积计算这个基本思想。本题以信息形式直接已给出了有关图形的面积（实质是高等数学中的定积分nnnxnxdxnn2cossin|00），所以对于第（1）问考生只要灵活运用题给信息就可获得正确答案；对于第（2）问根据函数y=sin3x的图象（如图4）的对称性可将所求图形通过分割补形变为长方形求面积就容易了。xyo33234y=1图4杜安利发稿54．以级数的思想为背景的高观点试题级数理论是数学分析的重要组成部分。是研究函数的重要工具，级数是产生新函数的重要方法，同时又是对已知函数表示、逼近的有效方法，在近似计算中发挥着重要作用。例4（2002年高考数学理科第22题）设数列｛ａｎ｝满足ａｎ＋１＝ａｎ２－ｎａｎ＋１，n∈N*。当ａ１≥３时，证明对所有的ｎ≥１，有21a11a11a11n21。背景探析：本题是以“数学分析中的无穷级数1iiu的部分和数列{Sn}有极限，则称级数1iiu收敛”为背景，涉及收敛级数1iia11的上界估计问题而得到的高考题。解法1：从高等数学的角度看。本题的实质就是这个收敛级数的上界估计。因为正项级数1iia11的前n项和有上界，故级数1iia11收敛，且收敛的速度大于1i1i21的速度（1i1i