试题选讲人口模型

人口模型人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到本世纪末，或下世纪中叶，全世纪人口将达到多少多少亿。你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上常有较大的差别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。先看一种最简单的计算方法。要预报未来若干年譬如2000年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率（即人口出生率减去死亡率），根据这两个数据进行人口预报是十分容易的。例如据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报，1990年7月1日我国人口总数为11.6亿，过去8年的平均增长率为14.8‰。如果今后的年增长率保持这个数字，那么很容易算出，1年后我国人口为11.6(1+0.0148)=11.77（亿），10年后即2000年将为44.13)0148.01(6.1110（亿）。这种算法用式子表示也十分简单。记今年人口为x0，k年后人口为kx，年增长率为r,则预报公式为kkrxx)1(0（1）显然，这个公式的基本前提是年增长率r保持不变。这个条件在什么情况下才成立，如果不成立又该怎么办。历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题。早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型。本书只介绍其中最简单的两种。指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国科学家马尔萨斯（Malthus1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于1789年提出了著名的人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。记时刻t的人口为)(tx，当考察一个国家或一个地区的人口时，)(tx是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将)(tx视为连续、可微函数。记初始时刻（t＝0）的人口为)0(x，人口增长率为r，r是单位时间内)(tx的增量与)(tx的比例系数。根据r是常数的基本假设，ttt到时间内人口的增量为ttrxtxttx)()()(于是)(tx满足如下的微分方程：年实际人口指数增长模型阻滞增长模型（610）（610）误差（％）（610）误差（％）17903.918005.318107.27.41.418209.610.04.29.71.0183012.913.76.213.00.8184017.118.79.417.41.8185023.225.610.323.0-0.9186031.435.010.830.2-3.8187038.647.823.838.1-1.3188050.265.530.549.9-0.6189062.989.642.462.4-0.8190076.0122.561.276.50.7191092.0167.682.191.6-0.41920106.5229.3115.3107.00.51930123.2122.0-1.01940131.7135.93.21950150.7148.2-1.71960179.3158.8-11.41970204.0167.6-17.81980226.50)0(xxrxdtdx（2）由这个线性常系数微分方程容易解出rtextx0)(（3）表明人口将按指数规律无限增长)0(r。将t以年离散化，(3)式表明，人口以re为公比的等比数列增长。因为这时r表示年增长率，通常,1r，所以可用近似关系rer1将（3）式写作trxtx)1()(0（4）(1)式与(4)式比较可知，前面给出的预报公式(1)不过是指数增长模型离散形式的近似表示。由(3)（或(2)）式给出的模型，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合。一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预报，结果也令人满意。但是当人们用19世纪以后(表4-1美国的实际人口与按两种模型计算的人口的比较)许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，却发现了相当大的差异。表4-1列出了美国19世纪、20世纪的人口统计数据与这个模型的比较结果。表中第3列是用（3）式计算的结果，其中6109.3)0(x为1970年)0(t的实际人口，t以10年为单位，10年增长率307.0r是由)0(x和1800年的实际人口6103.5)1(x，用（3）式确定出来的。显然，用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长。引起误差的原因是10年增长率r估计过高。按表中第2列给出的实际人口可以算出，19世纪100年和20世纪前80年的10年增长率分别是0.266和0.137，远小于1790到1800年的增长率0.307。这个事实对r是常数的基本假设提出了异议。人们还发现，在地大人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远远低于这个模型。产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。如果当人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而减少。许多国家人口增长的实际情况完全证实了这点。读者不妨利用表4-1第2列给出的数据计算一下美国人口每10年的增长率，可以知道大致是逐渐下降的。当然，由于从欧洲大批移民或战争dtdxxmxm/2Oxm/2xmxOt图4-1阻滞增长模型的曲线的影响，人口的增长率会有些波动。看来为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设了。阻滞增长模型（Logistic模型）将增长率表示为人口)(tx的函数)(xr，按照前面的分析)(xr应是x的减函数。一个最简单的假定是设)(xr为x的线性函数0,,)(srsxrxr，这里r相当于0x时的增长率，称固有增长率。它与指数模型中的增长率r不同（虽然用了相同的符号）。显然对于任意的,0x增长率rxr)(。为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx，称最大人口容量。当mxx时增长率应为零，即0)(mxr，由此确定s。人口增长率函数)(xr可以表示为mxxrxr1)(（5）其中mxr,是根据人口统计数据或经验确定的常数。因子mxx1体现了对人口增长的阻滞作用。（5）式的另一种解释是，增长率)(xr与人口尚未实现部分（对最大容量mx而言）的比例mmxxx成正比，比例系数为固有增长率r。在（5）式的假设下指数增长模型（2）应修改为0)0(1xxxxxrdtdxm（6）称为阻滞增长模型。非线性微分方程(6)可用分离变量法求解，结果为rtmmexxxtx11)(0（7）图4-1中根据(6)、(7)两式画出了xdtdx~，和tx~曲线。xdtdx~是一条抛物线，它表明人口增长率dtdx随着人口数量x的增加而先增后减，在2mxx处达到最大值。tx~是一条S型曲线，拐点在2mxx，当mxxt时。本世纪初人们曾用这个模型预报美国的人口。为了与指数增长模型比较，我们将计算结果放在表4-1的第五列中。计算时60109.3x仍是1790年的人口，而r＝0.31和x0610197mx则是用1800－1930年的实际数据，拟合出形如（5）式的线性函数后确定的。从表中数字可以看到，直到1930年计算结果都能与实际数据较好地吻合，后来的误差越来越大，一个明显的原因是到1960年美国的实际人口已经突破了用过去数据确定的最大人口容量mx。由此看来，这个模型的缺点之一是mx不易准确地得到。事实上，随着生产的发展和人们认识能力的改变，mx也是可以改变的。指数增长模型和阻滞增长模型都是确定性的、只考虑人口总数的连续时间模型。在研究过程中人们还发展了随机性模型，考虑人口年龄分布的模型等，其中有连续时间模型也有离散时间模型，这些有兴趣的同学可以翻阅相关的书籍，这里就不再做过多的介绍了。