话说二次函数图象与系数abc的关系

话说二次函数图象与系数a、b、c的关系河北刘兴宝二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a、b、c与其图象抛物线的位置及形状有密切联系。因此，在中考试卷中出现的概率比较大，本文就2008年《中学数学教学参考》第1—2期刊登的四川省威远县第一初级中学白飞老师撰写的《函数及其图象：二次函数》一文中的例2为例加以说明。例：（2007年，天津市）已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc；②cab；③024cba；④bc32；⑤)(bammba，（1m的实数）其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个在贵刊之中刊登的白老师的这篇文章中，给出的答案是：解析：（1）由开口向下可知a＜0,结合由对称轴x=﹣ab2=1，可知，b＞0，再由函数图象与y轴交于正半轴可知c＞0，所以，①0abc是正确的；（2）当x=1时，y＜0，即a－b+c＜0，所以，②cab是错误的；（3）根据对称性可知当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0,所以③024cba是正确的；（4）又a－b+c＜0和a=﹣2b，所以﹣2b－b+c＜0，可得2c＞3b，所以④bc32是错误的；（5）当x=1时，y=a+b+c有最大值，当x=m不等于1时，y=cmbam2;所以，a+b+c＞cmbam2,可得⑤)(bammba也是正确的。因此，选择B。在上述解答给出的答案中，我认为有两处地方有待于磋商：第一：①0abc应该是错误的。因为，由抛物线开口向上知a＜0；由抛物线的对称轴在y轴右侧知：﹣ab2＞0，即ab2＜0，a、b异号，所以，b＞0；由抛物线与y轴交于正半轴可知c＞0，在a、b、c这三个中有两个符号是同号为正，一个为负号，所以①0abc是错误的；第二：④bc32应该是正确的。因为，由b=﹣2a，a－b+c＜0得，（﹣2b）－b+c＜0，即，bc32，所以，④bc32是正确的；除此以外：②、③、⑤的解答都是正确的。所以错误的有：①和②，因此，正确的有3个，故，应该选择B。例说二次函数图象与系数的关系（图）y=ax2+bx+c耀华中学高宏柏白丽娜在学习二次函数的图象及其性质时，经常会遇到二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系问题，这类问题比较综合、灵活，很多同学考虑不全面，失分率比较高，甚至有的同学无从下手，特别是初学者尤为明显。下面就以3道题为例来说明这类问题的解答对策：例1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示。若M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|，则下列判断正确的是（）（A）M0（B）M=0（C）M0（D）不能确定分析：由图象逐步分析系数a、b、c(1)开口方向确定a的符号：开口向上，a0(2)对称轴x=-■的位置确定b的符号：0-■1，b0，且2a+b0；(3)与y轴交点确定c的符号：与y轴交于负半轴，c0(4)与x轴交点个数确定Δ的符号：有两个交点，Δ0(5)特殊点的位置：点（1，a+b+c）在x轴下方，则a+b+c0；点（-1，a-b+c）在x轴上方，则a-b+c0解：点（1，a+b+c）在x轴下方→a+b+c0；点（-1，a-b+c）在x轴上方→a-b+c0；开口向上→a0；对称轴0-■1→b0，2a+b0；所以，M=-a-b-c-a+b-c+2a+b-2a+b=-2a+2b-2c=-2(a-b+c)0我们在解决二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系问题时，通常要考虑以上5个方面，在考虑特殊点的位置时，可能还会有其他的情况，如（2，4a+2b+c）等等。请看下面的例题：例2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（－1，2）、（1、0），给出四个结论：①abc0；②2a+b0；③a+c=1；④a1。其中正确结论的序号是分析：针对①，开口向上，a0；对称轴在y轴右侧，b0；与y轴交于负半轴，c0，所以abc0，①错误。针对②，对称轴x=-■1，且a0→2a+b0，②正确。针对③，x=1时，y=a+b+c=0x=-1时，y=a-b+c=2两式相加，得a+c=1，③正确。针对④，由a0，c0，a+c=1→a1，④正确。所以，②③④正确。可以看出，从上面5个方面入手还是很奏效的。请再看下面一道例题：例3．y=ax2+bx与y=ax+b在同一坐标系中的位置大致是（）分析：首先y=ax2+bx中无常数项，故图象过原点，所以B错误。A中由y=ax2+bx图象得a0，b=0；与y=ax+b图象中b0不符；D中由y=ax2+bx图象得a0，b0；与y=ax+b图象中a0，b0不符；故选C。反思：在解这道题时，主要是由二者的图象分析系数的一致性，我们就顺利得到了答案。但是二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b的图象都过x轴上的同一点，这一点你注意到了吗？它有用吗？通过上面3道例题我们发现，由二次函数y=ax2+bx+c的图象分析系数a、b、c，可从以下几方面着手：(1)开口方向确定a的符号；(2)对称轴x=-■的位置确定b的符号；(3)与y轴交点确定c的符号；(4)与x轴交点个数确定Δ的符号；(5)特殊点的位置：点（1，a+b+c）与点（-1，a-b+c）的位置等。下面有两道练习题你可以试一试，有能力的同学再做一做思考题：1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac0；②ab0；③a-b+c=0；④4a+b=0；⑤当y=2时，x只能为0。其中正确结论的序号是答案：③④2.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax+b在同一坐标系中的位置大致是（）答案：选C思考题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c≠0），当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值都相等，当x取x1+x2时，函数值为_____。好好考虑一下：当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值都相等，这个条件和图象有什么关系呢？