2019秋人教版九年级数学上册同步练习：微专题八--和垂径定理有关的辅助线

2019秋人教版九年级数学上册同步练习：微专题八__和垂径定理有关的辅助线1/8微专题八__与垂径定理有关的辅助线__[学生用书A38]一连半径构造直角三角形(教材P83练习第1题)如图1，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．图1解：根据题意，得AE＝12AB＝12×8＝4(cm)，OE＝3cm，∴OA＝AE2＋OE2＝42＋32＝5(cm)．【思想方法】求圆中的弦长时，通常连半径，由半径、弦长的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解．[2017·呼和浩特]如图2，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为(B)A．26πB．13πC.96π5D.3910π5图2变形1答图【解析】如答图，连接OA，设OM＝5x，MD＝8x，则OA＝OD＝13x，又∵AB＝12，由垂径定理可得AM＝6，2019秋人教版九年级数学上册同步练习：微专题八__和垂径定理有关的辅助线2/8∴在Rt△AOM中，(5x)2＋62＝(13x)2，解得x＝12，∴半径OA＝132.根据周长公式C＝2πr，得⊙O的周长为13π.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”(如图3①)图3阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB＝__1__寸，CD＝__10__寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．变形2答图解：如答图，连接CO.∵BO⊥CD，∴CA＝12CD＝5(寸)．设CO＝OB＝x寸，则AO＝(x－1)寸，∵在Rt△CAO中，∠CAO＝90°，2019秋人教版九年级数学上册同步练习：微专题八__和垂径定理有关的辅助线3/8∴AO2＋CA2＝CO2，即(x－1)2＋52＝x2，解得x＝13，∴⊙O的直径为26寸．二作弦心距巧解题(教材P90习题24.1第10题)⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm.求AB和CD之间的距离．解：第一种情况：如答图①，两弦在圆心的同一侧时，已知CD＝10cm，则DE＝5cm.∵OD＝13cm，∴利用勾股定理，可得OE＝12cm.同理可求OF＝5cm，∴EF＝OE－OF＝7(cm)；①②教材母题答图第二种情况：如答图②，两弦在圆心异侧时，EF＝OE＋OF＝17(cm)．综上所述，AB和CD之间的距离为7cm或17cm.【思想方法】已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求解．如图4，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(C)A．3B．4C．32D．422019秋人教版九年级数学上册同步练习：微专题八__和垂径定理有关的辅助线4/8图4变形1答图【解析】如答图，作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，连接OB，OD.由垂径定理、勾股定理，得OM＝ON＝52－42＝3，∵弦AB，CD互相垂直，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝32.故选C.[2018·枣庄]如图5，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(C)A.15B．25C．215D．8图5变形2答图【解析】如答图，作OE⊥CD于E，连接OC，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝OB＝4，∴OP＝2，∵∠APC＝30°，∴OE＝12OP＝1.在Rt△OCE中，CE＝OC2－OE2＝15，∴CD＝2CE＝215.故选C.[2018·绥化]如图6，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨2019秋人教版九年级数学上册同步练习：微专题八__和垂径定理有关的辅助线5/8前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升__10或70__cm.图6变形3答图【解析】作半径OD⊥AB于C，连接OB，由垂径定理得BC＝12AB＝30，在Rt△OBC中，OC＝OB2－BC2＝40，当水位上升到圆心以下时，水面宽80cm，则OC′＝502－402＝30，水面上升的高度为40－30＝10(cm)；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为40＋30＝70(cm)，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm.[2018·海南]如图7，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为__(2，6)__．图7变形4答图【解析】如答图，过点M作MN⊥CD，垂足为点N，连接CM，过点C作CE⊥OA，垂足为点E，∵点A的坐标是(20，0)，∴CM＝OM＝10，∵点B的坐标是(16，0)，∴CD＝OB＝16，由垂径定理可知，CN＝12CD＝8，2019秋人教版九年级数学上册同步练习：微专题八__和垂径定理有关的辅助线6/8在Rt△CMN中，CM＝10，CN＝8，由勾股定理可知MN＝6，∴CE＝MN＝6，OE＝OM－EM＝10－8＝2，∴点C的坐标为(2，6)．[2018·孝感改编]已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，求弦AB和CD之间的距离．解：分两种情况：如答图①，当弦AB和CD在圆心的同侧时，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝12AB＝8cm，CF＝12CD＝6cm，根据勾股定理，得OE＝AO2－AE2＝102－82＝6(cm)，OF＝CO2－CF2＝8(cm)．∴EF＝OF－OE＝8－6＝2(cm)．变形5答图如答图②，当弦AB和CD在圆心的异侧时，EF＝OE＋OF＝8＋6＝14(cm)．∴弦AB和CD之间的距离是2cm或14cm.如图8，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3m，弓形的高EF＝1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB︵所在⊙O的半径．2019秋人教版九年级数学上册同步练习：微专题八__和垂径定理有关的辅助线7/8图8解：由垂径定理，得BF＝12AB＝1.5(m)，OE⊥AB，设⊙O的半径为xm，则OF＝(x－1)m.在Rt△OBF中，由勾股定理，得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625，即⊙O的半径是1.625m.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图9所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．图9变形7答图解：不需要采取紧急措施．理由：设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30m，OC＝(R－18)m，∴R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34.如答图，连接OM，设DE＝x.在Rt△MOE中，ME＝16m，∴342＝162＋(34－x)2，即x2－68x＋256＝0，解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，∴DE＝4m，∵4m＞3.5m，2019秋人教版九年级数学上册同步练习：微专题八__和垂径定理有关的辅助线8/8∴不需要采取紧急措施．某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面AB宽度为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m(如图10所示)．现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面AB2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图10变形8答图解：如答图，连接ON，OB，设DE为船舱的高．∵OC⊥AB，∴D为AB中点．又∵AB＝7.2m，∴BD＝12AB＝3.6(m)，∵CD＝2.4m，设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝(r－2.4)m.在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9，∵CD＝2.4m，船舱顶部为方形并高出水面AB2m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)，在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96，∴EN＝2.96m，∴MN＝2EN＝22.96≈3.44(m)＞3(m)，∴此货船能顺利通过这座拱桥．