人教版九年级数学上册同步练习：微专题九--圆周角定理的综合运用

微专题九__圆周角定理的综合运用__[学生用书B40]一巧作辅助线(教材P87思考)圆内接四边形的四个角之间有什么关系？教材母题答图解：如答图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．连接OB，OD.∵∠A所对的弧为BCD︵，∠C所对的弧为BAD︵，又∵BCD︵和BAD︵所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝360°2＝180°.同理∠ABC＋∠ADC＝180°，∴圆内接四边形的四个角之间的关系是对角互补．【思想方法】通过添加辅助线来构造圆心角或圆周角是实现圆内角度转换的有效手段，尤其要注意构造直径所对的圆周角．[2018·青岛]如图1，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是AC︵的中点，则∠D的度数是(D)A．70°B．55°C．35.5°D．35°图1变形1答图【解析】如答图，连接OB，∵∠AOC＝140°，点B是的AC︵中点，∴∠AOB＝12∠AOC＝70°.∵∠AOB是AB︵所对的圆心角，∠D是AB︵所对的圆周角，∴∠D＝12∠AOB＝35°.故选D.[2018·镇江]如图2，AB为△ACD的外接⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝__40__°.图2变形2答图【解析】如答图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BCD＝∠BAD＝50°，∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝90°－50°＝40°.如图3，点D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A，B，D作⊙O.(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE.图3变形3答图证明：(1)如答图，连接BD，∵BA＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴AB是⊙O的直径；(2)∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，由圆周角定理得∠A＝∠E，∴∠C＝∠E，∴DC＝DE.如图4，AB是⊙O的直径，C，P是⊙O上两点，AB＝13，AC＝5.(1)如图①，若P是AB︵的中点，求PA的长；(2)如图②，若P是BC︵的中点，求PA的长．①②图4解：(1)如答图①，连接PB.∵AB是⊙O的直径，P是AB︵中点，∴∠APB＝90°，PA＝PB，又∵AB＝13，∴PA＝22AB＝1322；①②变形4答图(2)如答图②，连接BC，OP，相交于点D，连接PB.∵P是BC︵的中点，∴OP⊥BC，BD＝CD，又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝12AC＝52，∵OP＝12AB＝132，∴PD＝OP－OD＝132－52＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵AB＝13，AC＝5，∴BC＝12，∴BD＝12BC＝6，∴PB＝PD2＋BD2＝213，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴PA＝AB2－PB2＝313.已知：阿基米德折弦定理：如图5①，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BCAB，M是ABC︵的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程．①②③图5证明：如图②，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG.∵M是ABC︵的中点，∴MA＝MC.…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝2，D为AC︵上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是__2＋22__．解：(1)证明：如图②，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG.∵M是ABC︵的中点，∴MA＝MC.在△MBA和△MGC中，BA＝GC，∠A＝∠C，MA＝MC，∴△MBA≌△MGC(SAS)，∴MB＝MG，又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC＋GD＝AB＋BD；(2)在Rt△ABE中，AB＝2，∠ABE＝45°，则BE＝2，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∴AB︵＝AC︵，即点A为BDC︵的中点，∵AE⊥BD，根据阿基米德折弦定理，BD＋DC＝2BE＝22，∴△BDC的周长为2＋22.二圆周角定理与垂径定理的综合应用(教材P89习题24.1第5题)如图6，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°.求∠ADC的度数．图6解：∵OA⊥BC，∴AC︵＝AB︵，∴∠ADC＝12∠AOB＝25°.【思想方法】垂径定理与圆周角定理的综合运用题一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，再利用垂径定理求解．[2018·遂宁]如图7，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于点D，连接BE，若AB＝27，CD＝1，则BE的长是(B)图7A．5B．6C．7D．8【解析】设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝OC＝r，∵OC⊥AB，∴AD＝12AB＝7，∵CD＝1，∴OD＝r－1，∴OD2＋AD2＝OA2，∴(r－1)2＋(7)2＝r2，解得r＝4，∴OD＝3，∵AE是⊙O的直径，∴AB⊥BE，∴OD∥BE，∴BE＝2OD＝6.故选B.[2018·凉山州]如图8，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝8，∠D＝60°，则⊙O的半径为__833__．图8变形2答图【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴DE＝4，∵∠ADC＝60°，∴AD＝8，AE＝43，如答图，连接OD，∵∠A＝30°，∴∠DOE＝60°，∴2OE＝OD，∴AE＝OA＋OE＝OD＋OE＝3OE＝43，∴OE＝433，∴OD＝833，即⊙O的半径为833.[2018·安徽]如图9，⊙O为锐角△ABC的外接圆，其半径为5.图9(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．解：(1)如答图①所示；变形3答图(2)如答图②，连接OE，OC，EC，由(1)知AE为∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∴BE︵＝EC︵，根据垂径定理知OE⊥BC，则DE＝3.∵OE＝OC＝5，∴OD＝OE－DE＝2.在Rt△ODC中，DC＝OC2－OD2＝52－22＝21，在Rt△DEC中，CE＝DE2＋DC2＝32＋（21）2＝30，∴弦CE的长为30.如图10，已知在⊙O中，AB＝43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，∠A＝30°，求BD及OF的长．图10解：∵AB＝43，AC⊥BD，∠A＝30°，∴BF＝12AB＝23，∴AF＝AB2－BF2＝（43）2－（23）2＝6，∵AC是⊙O的直径，∴BD＝2BF＝2×23＝43.设OF＝x，则OB＝AF－OF＝6－x.在Rt△OBF中，OB2＝BF2＋OF2，即(6－x)2＝(23)2＋x2，解得x＝2，即OF＝2.如图11，⊙O的半径OA＝5cm，AB是弦，∠OAB＝30°，现有一动点C从A出发，沿弦AB运动到B，再从B沿劣弧BA回到点A.(1)若AC＝12AB，求OC的长；(2)若当BC＝CO时，求∠COA的度数．①②图11变形5答图解：(1)如答图①，当点C在弦AB上的C1处时，∵AC1＝12AB，即C1为AB的中点，∴OC1⊥AB，在Rt△OAC1中，∵∠A＝30°，∴OC1＝12OA＝52(cm)；当点C在弧AB上时，显然存在一点C2使得AC2＝12AB，此时OC2＝OA＝5cm.综上所述，OC的长为52cm或5cm；(2)如答图②，连接OB.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠A＝30°，∴∠AOB＝120°.当点C在弦AB上的C′处时，BC′＝C′O，则∠OBC′＝∠BOC′＝30°，∴∠C′OA＝120°－30°＝90°；当点C在弧AB上的C″处时，C″B＝OC″，∵OB＝OC″，∴△OBC″为等边三角形，∴∠BOC″＝60°，∴∠C″OA＝60°.综上所述，∠COA的度数为90°或60°.