高数上册知识点总结

高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xay)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1limlim020xxxxxxx4、两个重要极限：exexxxxxxxx11lim1lim)2(1sinlim)1(100经验公式：当)(,0)(,0xgxfxx，)()(lim)(00)(1limxgxfxgxxxxexf例如：33lim10031limeexxxxxx5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||xy连续但不可导。6、导数的定义：0000')()(lim)(')()(lim0xfxxxfxfxfxxfxxfxxx7、复合函数求导：)(')(')(xgxgfdxxgdf例如：xxxxxxxyxxy24122211',8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdxdyydyxdxyxyyyxyx22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法9、由参数方程所确定的函数求导：若)()(thxtgy，则)(')('//thtgdtdxdtdydxdy，其二阶导数：)(')('/)('/)/(/22thdtthtgddtdxdtdxdyddxdxdyddxyd10、微分的近似计算：)(')()(000xfxxfxxf例如：计算31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxysin（x=0是函数可去间断点），)sgn(xy（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：xxf1sin)(（x=0是函数的振荡间断点），xy1（x=0是函数的无穷间断点）12、渐近线：水平渐近线：cxfyx)(lim铅直渐近线：.)(lim是铅直渐近线，则若，axxfax斜渐近线：axxfbxxfabaxyxx)(lim,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223xxxxy的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。14、极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。16、拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f(x0)=0，且xx0,f(x)0；xx0时，f(x)0或xx0,f(x)0；xx0时，f(x)0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。17、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。18、改变单调性的点：0)('0xf，)('0xf不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点）19、改变凹凸性的点：0)(0xf，)(''0xf不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。21、中值定理：(1)罗尔定理：)(xf在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得0)('f(2)拉格朗日中值定理：)(xf在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得)(')()()(fabafbf(3)积分中值定理：)(xf在区间[a,b]上可积，至少存在一点，使得)()()(fabdxxfba22、常用的等价无穷小代换：333231~tan,61~sin,21~sintan21~cos1)1ln(~)11(2~1~tan~arctan~arcsin~sin~xxxxxxxxxxxxxexxxxxx23、对数求导法：例如，xxy，1ln'1ln'1lnlnxxyxyyxxyx解：24、洛必达法则：适用于“00”型，“”型，“0”型等。当/0)(,/0)(,0xgxfxx，)('),('xgxf皆存在，且0)('xg，则)(')('lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx例如，212sinlim002coslim001sinlim0020xexxexxexxxxxx25、无穷大：高阶+低阶=高阶例如，422lim2321lim532532xxxxxxxx26、不定积分的求法(1)公式法(2)第一类换元法（凑微分法）(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：22xa，可令taxsin；22ax，可令taxtan；22ax，可令taxsec2)当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换tx127、分部积分法：vduuvudv，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部积分出现循环形式的情况，例如：dxxxdxex3sec,cos28、有理函数的积分：例如：dxxdxxxdxxxxxdxxxx323311)1(12)1()1(2)1(23其中，前部分dxxx2)1(1需要进行拆分，令222)1(1)1(1)1(1)1(1xxxxxxxxxxx2)1(1111xxx29、定积分的定义：niiibaxfdxxf10)(lim)(30、定积分的性质：(1)当a=b时，badxxf0)(；(2)当ab时，abbadxxfdxxf)()((3)当f(x)是奇函数，0,0)(adxxfaa(4)当f(x)是偶函数，aaadxxfdxxf0)(2)((5)可加性：bccabadxxfdxxfdxxf)()()(31、变上限积分：)()()(')()(xfdttfdxdxdttfxxaxa推广：)(')()()(xuxufdttfdxdxua32、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式）：)()()(aFbFdxxfba33、定积分的分部积分法：bababavduuvudv例如：xdxxln34、反常积分：(1)无穷限的反常积分：babadxxfdxxf)(lim)((2)无界函数的反常积分：dxxfdxxfbtatba)(lim)(35、平面图形的面积：(1)badxxfxfA)()(12(2)dyyyAdc)()(1236、旋转体的体积：(1)绕x轴旋转，badxxfV2)((2)绕y轴旋转，dyyVdc2)(