直线的方程经典题型总结加练习题-含答案

CxyxyxyABDOOOOxy（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率概念考查1、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线2互相垂直，求实数a的值。2、直线baxy与abxy在同一坐标系下可能的图是（）3、直线3)2(xky必过定点，该定点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（2，–3）D．（–2，3）4、如果直线0cbyax（其中cba,,均不为0）不通过第一象限，那么cba,,应满足的关系是（）A．0abcB．0acC．0abD．cba,,同号5、若点A（2，–3），B（–3，–2），直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（）A．43k或4kB．43k或41kC．434kD．443k（3）两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()ABxxyy（4）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd概念考查（1）求两平行线1l：3x+4y=10和2l：3x+4y=15的距离。（2）求过点M（-2，1）且与A（-1，2），B（3，0）两点距离相等的直线方程。（3）直线l经过点P（2，-5），且与点A（3，-2）和点B（-1,6）的距离之比为1:2，求直线l的方程（4）直线1l过点A（0,1），2l过点（5,0），如果1//l2l，且1l与2l的距离为5，求1l、2l的方程（5）已知点P（2，-1）a、求过P点且与原点距离为2的直线l的方程b、求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少（5）、求关于点对称的对称问题的方法。（1）求已知点关于点的对称点。（距离相等，三点同线）（2）求直线关于点的对称直线。（平行，点到线距离相等）（3）求点关于直线的对称点。（在垂直线上，距离相等）（4）求直线关于直线的对称直线。（平行：距离相等；相交：过交点，点对称）概念考查已知直线l：y=3x+3，求：（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x-2关于l的对称直线的方程；（3）直线l关于点A（3，2）的对称直线的方程。（6）直线上动点与已知点距离的最大最小值a.在直线l上求一点P使|PA|+|PB|取得最小值时，若点A、B位于直线l的同侧，则作点A（或点B）关于l的对称点A（或点B），连接AB（或AB）交l于点P，则点P即为所求。若点A、B位于直线l的异侧，直接连接AB交l于P点，则点P即为所求。可简记“同侧对称异侧连”。即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。b.在直线l上求一点P使||PA|-|PB||取得最大值时，方法与a恰好相反，即“异侧对称同侧连”。概念考查（1）已知两点A（3，-3），B（5,1），直线:lyx，在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|最小。（2）求一点P，使||PA|-|PB||最大直线的方程经典例题经典例题透析类型一：求规定形式的直线方程1．(1)求经过点A(2，5)，斜率是4直线的点斜式方程；(2)求倾斜角是，在轴上的截距是5；直线的斜截式方程；(3)求过A(-2，-2)，B(2，2)两点直线的两点式方程；(4)求过A(-3，0)，B(0，2)两点直线的截距式方程.思路点拨：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，要根据条件写出直线方程.解：(1)由于直线经过点A(2，5)，斜率是4，由直线的点斜式可得；(2)；；.总结升华：写规定形式的方程，要注意方程的形式.举一反三：【变式1】(1)写出倾斜角是，在轴上的截距是-2直线的斜截式方程；(2)求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程；(3)求过A(1，0)，B(0，-4)两点直线的截距式方程.【答案】(1)；；.类型二：直线与坐标轴形成三角形问题2．过点P(2，1)作直线与x轴、y轴正半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.思路点拨：因直线已经过定点P(2，1)，只缺斜率，可先设出直线的点斜式方程，且易知k0，再用k表示A、B点坐标，结合函数及不等式知识求解.解析：解法一：设直线的方程为:y-1=k(x-2)，令y=0，得:x=；令x=0，得y=1-2k，∵与x轴、y轴的交点均在正半轴上，∴0且1-2k0故k0，△AOB的面积当且仅当-4k=-，即k=-时，S取最小值4，故所求方程为y-1=-(x-2)，即:x+2y-4=0.总结升华：解法一与解法二选取了直线方程的不同形式，解法三考虑到图形的直观性，利用了形数结合的思想，体现了解题的“灵活性”.已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解.而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.类型三：斜率问题3．求过点，且与轴的交点到点的距离为5的直线方程.思路点拨：要对直线是否存在斜率的不同情况加以分类解析，结合题目中的相关条件设出对应的直线方程，然后求解.解析：(1)当直线斜率存在时，因为直线与轴相交，所以，设直线的斜率为，已知直线过点，代入点斜式方程，得，所以直线与轴的交点为则有，解得，故所求直线方程为；(2)当直线斜率不存在时，经过点A且垂直于轴的直线与轴的交点(-4，0)到的距离也恰好为5，所以直线也满足条件.综上所述，所求直线方程为或.总结升华：解答此类问题时，容易忽视直线斜率不存在时的情况，同学们在实际解答时要全面考虑.斜率不存在的直线(即垂直于轴的直线)不能用点斜式、斜截式方程求解，点斜式、斜截式方程的使用条件是直线斜率必须存在.因此，用点斜式、斜截式方程求解直线方程时要考虑斜率不存在的情况，以免丢解.类型四：截距问题4．求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.思路点拨：要对直线截距的不同情况加以分类解析，结合题目中的相关条件设出对应的直线方程，然后求解.直线在两轴上截距相等，直接考虑截距式方程，也可以用由图形性质，得到k=-1时截距相等，从而选用点斜式.解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用函数.解析：(1)当截距不为零时，设所求直线方程为，将点代入得，解得，故所求直线方程为；(2)当截距为0时，直线方程为综上所述，所求直线方程为或.总结升华：注意截距与距离的区别，截距可正、可负、可为零，不可与距离混为一谈.截距式方程的使用条件是直线在轴、轴上的截距都存在且不为零，垂直于坐标轴和过原点的直线不能用该方程求解，因此用截距式方程要考虑截距为零的情况.解答此类问题时，容易遗漏所求直线在在轴、轴上的截距为0的情况，在实际解答时要全面考虑.