高数(上)知识点梳理

1高等数学A（上）知识点梳理第一章函数与极限一、极限1、极限概念（1）理解极限定义（,N语言等，不做考试要求）（2）理解并记住极限性质（唯一性、有界性、保号性）（3）理解无穷大（小）的概念及比较（高阶、低阶、同阶、等价，k阶无穷小的意义）2、求极限方法（1）记住三个重要极限并会应用当1()sin()()0,1(1())()xxxxex时，101101limnnnmmxmaxaxabxbxb000anmbnmnm（2）用等价无穷小替换（乘积时用）当()0x时，()sin()tan()xxxarcsin()arctan()xx()1ln(1())xex，211cos()()2xx，11()1()nxxn（3）用有理化（如22+lim1)xxxx（）（4）用有界量与无穷小乘积为无穷小（如01limsin0xxx）（5）用洛必塔法则A:0,0型——()()limlim()()fxfxgxgx（当()lim()fxgx存在或时）；函数略2B:000,,0,1,型——转化成0,0，再用洛必达法则（6）用极限存在两个准则A(夹逼准则)：若()()()gxfxhx，且lim()lim()gxhxA，则lim()fxAB：单调有界数列必有极限。（7）用定积分定义如112lim111nnnnnn=11lim1nnninn=101xdx=32221)3（注意：两类函数的极限()()()0()xxexex当当，arctan()/2()arctan()/2()hxhxhxhx当当二、连续1、会判定函数在某点的连续性、求间断点及分类（1）连续定义00lim()()xxfxfx或0lim0xy或0()fx00()()fxfx（其中00()()yfxxfx，00()lim()xxfxfx，00()lim()xxfxfx）（2）间断点的分类第一类间断点：0()fx与0()fx均存在0000()()()()fxfxfxfx可去间断点跳跃间断点第二类间断点：0()fx与0()fx至少有一个不存在（无穷与振荡间断点）2、初等函数在其定义区间上是连续的3、闭区间上连续函数的性质（1）理解最值定理与介值定理（特殊的零点定理）（2）会用零点定理判定方程（()0fx）根的存在性3第二章导数与微分一．导数概念1、理解并记住导数定义0()fx000()()limxfxxfxx000()()limhfxhfxh左右导数：0()fx存在0()fx0()fx（一般来说，当在0x点的左右()fx的表达式不同，要用左右导数）2、理解导数几何意义（0()fx——切线的斜率）切线方程：000()()()yfxfxxx（切点00(,())xfx）法线方程：0001()()()yfxxxfx二、导数计算1、熟记基本初等函数导数公式及求导法则（第92页1、2、3、4）2、熟练掌握求导运算（1）复合函数求导（如ln(sin(21))yx）（2）隐函数求导（如yexye，求y，y）（3）参数式函数求导（如(sin)xatt，(1cos)yat，求y，y）（4）对数求导法A：23(1)(2)sinxxyx，21lnln(1)ln(2)ln(sin)33yxxx，再……B：sinxyx，sinsinlnxxxyxe（或者lnsinlnyxx），再……（5）高阶导数注意：分段函数在分界点的导数要用定义求三、微分41、理解微分定义与几何意义增量0()yyxx，微分dyydx，则0()ydyx2、理解并记住：可微可导，可导连续（连续可导）2、求微分()()dfxfxdx3、用微分作近似计算ydy，000()()()fxxfxfxx第三章中值定理与导数应用一、中值定理1、理解并记住三个中值定理的内容、关系、几何意义2、会用中值定理作推理证明（1）用罗尔定理判定导函数方程()0,()0fxfx根的存在性（2）证明等式（恒等式()fxC及含的等式）（3）证明不等式（如lnabbabaab(0)ab）二、导数应用1、会用导数讨论函数性态（极值、拐点、单调区间与凹凸区间等）2、会求函数最值及应用题3、会用单调性证明不等式4、会用极值讨论方程根的存在性（如方程ln(0xaxa）有几个实根？）5、会作图（含渐近线）5第四章不定积分一、原函数与不定积分概念()Fx是()fx一个原函数()()Fxfx()()fxdxFxC二、求不定积分1、熟记基本积分公式表（第188~189页13个公式、第204页2个公式及第205页9个公式（共24个公式））2、掌握换元积分法（1）第一换元积分法——“凑微分”法（2）第二换元积分法——“三角代换”、“根式代换”等“三角代换”：222222222222sin(cos)(sincos1)tan(1tansec)sec(sec1tan)axxatxatttaxxatttxaxattt，去根号“根式代换”：naxbt，去根号3、分部积分法（掌握三种基本题型）4、有理函数积分（分解积分）5、三角有理式积分（令tan2xt，则22sin1txt，221cos1txt，221dxdtt，但当次幂较高时计算繁，可选用其它方法）第五章定积分一、定积分概念1、理解定积分的定义、几何意义（面积代数和）2、理解并记住性质（线性、路径、比较、估值性、中值定理）6二、求定积分1、牛顿—莱布尼茨公式()()()()bbaafxdxFxFbFa，其中()fx连续，()()Fxfx2、掌握定积分的换元积分法（换元要换限）、分部积分法3、记住（1）02()()()0()aaafxdxfxfxdxfx偶函数奇函数（2）设()fx以T为周期可积函数，则202()()=()TaTTTafxdxfxdxfxdx（0()()anTTafxdxnfxdx）三、掌握变限定积分函数、及其求导公式()()xadftdtfxdx；()()()[()]()[()]()xxdftdtfxxfxxdx四．会求两类反常积分第六章定积分应用一．会求平面图形面积（直角、参数、极坐标）极坐标下：21()(())2Sxd（求的是曲边扇形面积）二．会求体积（旋转体体积、平行截面面积为已知立体体积）绕x轴：22(())bbxaaVydxfxdx绕y轴：22(())ddyccVxdygydy（或者2baxydx=2()baxfxdx）注意：公式与图形的匹配。三．会求弧长（记住直角、参数、极坐标下公式）四．会求功与水压力