最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)

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最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)1.如图,直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。2.如图,直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。3.如图,点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON上作点A,B。使△PAB的周长最小4.如图,点P,Q为∠MON内的两点,分别在OM,ON上作点A,B。使四边形PAQB的周长最小。5.如图,点A是∠MON外的一点,在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小6..如图,点A是∠MON内的一点,在射线OM上作点P,使PA与点P到射线ON的距离之和最小EMMEHM30°二、常见题型三角形问题1.如图,在等边△ABC中,AB=6,AD⊥BC,E是AC上的一点,M是AD上的一点,若AE=2,求EM+EC的最小值A解:∵点C关于直线AD的对称点是点B,A∴连接BE,交AD于点M,则ME+MD最小,过点B作BH⊥AC于点H,则EH=AH–AE=3–2=1,BH=BC2-CH2=62-32=33在直角△BHE中,BE=BH2+HE2B=(33)2+12=27DCBDC2.如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.解:作点B关于AD的对称点B',过点B'作B'E⊥AB于点E,交AD于点F,则线段B'E的长就是BM+MN的最小值在等腰Rt△AEB'中,根据勾股定理得到,B'E=4CB'MFDANEB3.如图,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,则这个最小值C解:作AB关于AC的对称线段AB',过点B'作B'N⊥AB,垂足为N,交AC于点M,则B'N=MB'+MN=MB+MNB'N的长就是MB+MN的最小值则∠B'AN=2∠BAC=60°,AB'=AB=2,∠ANB'=90°,∠B'=30°。∴AN=1在直角△AB'N中,根据勾股定理B'N=3AN2BB'CAN2BM30°NEP正方形问题1.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,丐DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为_。即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小AD解:故作点D关于AC的对称点B,连接BM,交AC于点N。则DN+MN=BN+MN=BMM线段BM的长就是DN+MN的最小值在直角△BCM中,CM=6,BC=8,则BM=10故DN+MN的最小值是10BC2.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()A.23B.26C.3D.6AD解:即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小点D关于直线AC的对称点是点B,连接BE交AC于点P,则BE=PB+PE=PD+PE,BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB=23BC3.在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为_㎝(结果不取近似值).解:在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小∵点B关于AC的对称点是D点,∴连接DQ,与AC的交点P就是满足条件的点DQ=PD+PQ=PB+PQ故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角△CDQ中,CQ=1,CD=2根据勾股定理,得,DQ=5ADPBQC4.如图,四边形ABCD是正方形,AB=10cm,E为边BC的中点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值;解:连接AE,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值AD在直角△ABE中,求得AE的长为55BECHP1717矩形问题1.如图,若四边形ABCD是矩形,AB=10cm,BC=20cm,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PD的最小值;C'解:作点C关于BD的对称点C',过点C',作C'B⊥BC,交BD于点P,则C'E就是PE+PC的最小值20AD直角△BCD中,CH=5直角△BCH中,BH=85△BCC'的面积为:BH×CH=160∴C'E×BC=2×160则CE'=16BEC菱形问题1.如图,若四边形ABCD是菱形,AB=10cm,∠ABC=45°,E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点,求PC+PE的最小值;解:点C关于BD的对称点是点A,过点A作AE⊥BC,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值在等腰△EAB中,求得AE的长为52ABPDEC梯形问题1.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上秱动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为()A、2B、4C、817D、3AD171717解:作点A关于BC的对称点A',连接A'D,交BC于点P则A'D=PA'+PD=PA+PDA'D的长就是PA+PD的最小值S△APD=4在直角△ABP中,AB=4,BP=1根据勾股定理,得AP=17BPC4∴AP上的高为:2×=1781717A'圆的有关问题︵1.已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°,点B是AD的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值.解:在直线CD上作一点P,使PA+PB的值最小A作点A关于CD的对称点A',连接A'B,B交CD于点P,则A'B的长就是PA+PB的最小值连接OA',OB,则∠A'OB=90°,CDOA'=OB=4OP根据勾股定理,A'B=42A'2.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为()A22B2C1D2A解:MN上求一点P,使PA+PB的值最小作点A关于MN的对称点A',连接A'B,交MN于点P,B则点P就是所要作的点A'B的长就是PA+PB的最小值MNOP连接OA'、OB,则△OA'B是等腰直角三角形∴A'B=2A'一次函数问题20.一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).(1)求该函数的解析式;(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.解:(1)由题意得:0=2x+b,4=b解得k=-2,b=4,∴y=-2x+4(2)作点C关于y轴的对称点C',连接C'D,交y轴于点P则C'D=C'P+PD=PC+PDC'D就是PC+PD的最小值连接CD,则CD=2,CC'=2在直角△C'CD中,根据勾股定理C'D=22求直线C'D的解析式,由C'(-1,0),D(1,2)∴,有0=-k+b,2=k+b解得k=1,b=1,∴y=x+1当x=0时,y=1,则P(0,1)yBDPxC'OCAyOxABPCyBCxAO3b二次函数问题1.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120。,得到线段OB.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC周长最小?若存在求出点C坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)B(1,3)(2)y=323x2+x33(3)∵点O关于对称轴的对称点是点A,则连接AB,交对称轴于点C,则△BOC的周长最小3y=x2+3233x,当x=-1时,y=33∴C(-1,)32.如图,在直角坐标系中,A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为直线l上的一个动点,(1)求抛物线的解析式;(2)求当AD+CD最小时点D的坐标;(3)以点A为圆心,以AD为半径作圆A;解:(1)①证明:当AD+CD最小时,直线BD与圆A相切;②写出直线BD与圆A相切时,点D的另一个坐标。(2)连接BC,交直线l于点D,则DA+DC=DB+DC=BC,BC的长就是AD+DC的最小值BC:y=-x+3则直线BC与直线x=1的交点D(1,2),yCDAOBx3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2)(1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE∥PC交x轴于点E,连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.2a=1(1)由题意得9a-3b+c=02解得a=34,b=3,c=-2c=-2∴抛物线的解析式为y=2x2+34x-23yEOxABDPC(2)点B关于对称轴的对称点是点A,连接AC交对称轴于点P,则△PBC的周长最小设直线AC的解析式为y=kx+b,∵A(-3,0),C(0,-2),则0=-3k+b-2=b2解得k=-3,b=-22∴直线AC的解析式为y=-34x–24把x=-1代入得y=-3,∴P(-1,-)3(3)S存在最大值OE∵DE∥PC,∴=OAODOE,即=OC32-m2OE=3-33m,AE=OA–OE=m22方法一,连接OPS=S四边形PDOE–S△OED=S△POE+S△POD–S△OED1=×(3-234m)×+231×(2-m)×1-21×(3-23m)×(2-m)23=-m2+43m=-233(m-1)2+443∴,当m=1时,S最大=4方法二,S=S△OAC–S△AEP–S△OED–S△PCD33=-m2+m=3-(m-1)2+34244

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