美国人口预测

美国人口预测模型班级：土木14-1姓名：邱仕义学号：14044560130-1-美国人口预测模型摘要：认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出比较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。问题给出了1790-2000年的美国人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每十年人口数和人口增长的变化，预测美国未来的人口。通过建立两种人口模型，即是人口增长指数模型（Malthus模型）和阻滞增长模型（Logistic模型）。比较两种模型的最终结果。选择误差较小的模型。从而选择Logistic模型较为合适，但是从1930年后，该模型的误差也在不断变大，于是我们在Malthus模型上增加一个竞争项，因为一个国家的人口增长率与国家工业化程度和食品是否充足以及环境有关。关键词：Malthus模型；Logistic模型-2-目录1.Malthus模型.....................................................................................3模型假设..............................................................................................3变量与函数的定义..............................................................................3建模与求解.........................................................................................3模型评价.............................................................................................42.Logistic模型.........................................................................................5模型假设..........................................................................................5变量与函数的定义..............................................................................5建模与求解......................................................................................6模型评价.............................................................................................63.模型推广..........................................................................................74.模型的优缺点分析...........................................................................87.参考文献..............................................................................................8-3-Malthus模型：指数增长模型是由英国人口学家马尔萨斯于1798年最先提出的。这个模型认为，人口的增长将以几何级数增加。模型假设：1.设x（t）表示t时刻的人口数，且x(t)连续可微。2.人口的增长率r是常数（增长率=出生率—死亡率）3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口个体的生育和死亡，且没一个个体都具有同样的生育能力与死亡率。变量与函数的定义：X（t）t时刻的人口数量x0初始时刻的人口数量r人口增长率，为常数建模与求解：由假设与定义，由t到t+∆t人口的增量为：x(t+∆t)−x(t)=rx（t）∆t上式两边同除以∆tx(t+∆t)−x（t）∆t=𝑟𝑥(𝑡)取极限：dxdy=𝑟𝑥(𝑡)于是整个人口模型便可以用一个微分方程表示：-4-dxdy=𝑟𝑥(𝑡)x(0)=𝑥0解得为：x(t)=𝑥0𝑒𝑟𝑡模型评价：我们用美国的人口数据对该模型进行检验，做出下图，从图中可以看出，在人口发展的初期（1860年以前），该模型计算所得的结果与实际数据相符得较好，但随着人口数量的增多，理论值与实际值出现了较大的偏差，在1920年以后误差竟高达100%以上。观察误差和图像，模型对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数。-5-Logistic模型：阻滞增长模型是对马尔萨斯模型的改进。模型假设：1.设r(x)为x的线性函数，r(x)=r−sx;2.自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为𝑥𝑚，即当x=𝑥𝑚时，增长率r(𝑥𝑚)=0;变量与函数的定义：r(x)人口增长率，为x的线性函数，r(x)=r−sx;xm环境所能容纳的最大人口数r固有人口增长率，即r(0)=r建模与求解：由上面的假设，可得r(x)=r（1−𝑥𝑥𝑚），将r(x)的表达式代入指数增长模型中，则有-6-dxdt=𝑟(1−𝑥𝑥𝑚)𝑥x(𝑡0)=x0可解得：x(t)=𝑥𝑚1+(𝑥𝑚𝑥0−1)𝑒−𝑟(𝑡−𝑡0)由上式计算可得：𝑑2𝑥𝑑𝑡2=𝑟2(1−𝑥𝑥𝑚)(1−2𝑥𝑥𝑚)𝑥人口总数x（t）有如下规律：1.limt→∞𝑥(t)=𝑥𝑚即使无论人口初值是多少，人口总数都是以𝑥𝑚为极限。2.当0𝑥0𝑥𝑚时，dxdt=𝑟(1−𝑥𝑥𝑚)𝑥0,这说明x（t）是单调增加的。又可知，当x𝑥𝑚2时，𝑑2𝑥𝑑𝑡20,x=x(t)为凹函数；当x𝑥𝑚2时，𝑑2𝑥𝑑𝑡20,x=x(t)为凸函数。3.人口变化率𝑑𝑥𝑑𝑡在x=𝑥𝑚2时取得最大值，即人口总数达到极限值一半以前是加速生长时期，经过这一点之后，生长速率会逐渐变小，最终达到0。-7-模型推广：可以在Malthus模型上增加一个竞争项−b𝑥2(𝑏0),它的作用是使增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应计较充足，能够提供更多的人生存，此时b较小，反之b较大，所以建立方程𝑑𝑥𝑑𝑡=𝑥(𝑎−𝑏𝑥),𝑎,𝑏0x(𝑡0)=𝑥0其解为：x(t)=𝑎𝑥0𝑏𝑥0+(𝑎−𝑏𝑥0)𝑒−𝑎(𝑡−𝑡0)由此：𝑑2𝑥𝑑𝑡2=(𝑎−2𝑏𝑥)(𝑎−𝑏𝑥)𝑥1.对任意t𝑡0,有x(t)0,且limt→∞x(t)=𝑎𝑏.-8-2.当0x𝑎𝑏时，𝑑𝑥𝑑𝑡0,x(t)递增；当x=𝑎𝑏时，𝑑𝑥𝑑𝑡=0，当x(t)𝑎𝑏时，𝑑𝑥𝑑𝑡0,x(t)递减。3.0x𝑎2𝑏时，𝑑2𝑥𝑑𝑡20,x(t)为凹函数，当a2𝑏x𝑎𝑏时，𝑑2𝑥𝑑𝑡20,x(t)为凸函数。令第一个方程的右边为0，得𝑥1=0,𝑥2=𝑎𝑏,称他们是微分方程式的平衡解。易知limt→∞x(t)=𝑎𝑏.，所以称𝑎𝑏是稳定平衡解。可预测无论人口开始的数量𝑥0为多少，经过相当长的时间后。人口总数将稳定在𝑎𝑏。模型的优缺点分析：当人口总数不是很大时，可以略去式中的竞争项，回到Malthus人口模型，即人口增长服从指数增长规律。当人口总数增大时，竞争项的影响就不能忽略，即人口总数不再按指数增长，应采用Logistic模型。模型的应用：广泛应用于人口数量和寿命预测，老龄化问题和人口移民问题。参考文献:（1）司守奎，孙兆亮，数学建模算法与应用（第二版），北京，国防工业出版社。2015年2月（2）美国人口预测模型，百度文库（3）《数学建模》课程设计-美国人口预测，道客巴巴网站，2011年6月